Die
Euler-Gerade und der Feuerbach-Kreis.
Satz über die Euler-Gerade: In jedem Dreieck liegt der Schnittpunkt H der Höhen, der
Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden, der Mittelpunkt des Feuerbachkreises F
und der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten liegen auf einer Geraden. Diese
Gerade heißt Euler-Gerade. Satz über den Feuerbach-Kreis: Die
Seitenmitten Ma, Mb, Mc und die Höhenfußpunkte
Ha, Hb, Hc eines Dreiecks und die Mittelpunkte
A’, B’, C’ zwischen den Dreiecksecken und dem Höhenschnittpunkt liegen
auf einem Kreis. Dieser Kreis heißt Feuerbach-Kreis oder Neunpunktekreis.
Weitere Eigenschaften: 1. Die Eulersche Gerade geht auch durch den Mittelpunkt F des Feuerbach-Kreises; der Mittelpunkt dieses Kreises ist gleichzeitig der Mittelpunkt der Strecke [HM]. 2.
Die vier Punkte M, S, F und H sind vier harmonische Punkte mit dem
Teilverhältnis 3.
Im Dreieck ABC besitzt
der Feuerbach-Kreis einen halb so
großen Radius wie der Umkreis des Dreiecks. 4. Die zentrische Streckung (H; 0,5) mit Zentrum H und Streckungsfaktor 0,5 bildet das Dreieck ABC auf das Dreieck A’B’C’ und den Umkreis des Dreiecks ABC auf den Feuerbach-Kreis ab.
5. Die zentrische Streckung (S; -0,5) mit Zentrum S und Streckungsfaktor -0,5 bildet das Dreieck ABC auf das Dreieck MaMbMc und den Umkreis des Dreiecks ABC auf den Feuerbach-Kreis ab.
6. Die beiden zentrischen Streckungen (S; -0,5)
und (H; 0,5) hängen folgendermaßen zusammen:
7. Beim gleichseitigen Dreieck wird der Neunpunktekreis zum Inkreis des Dreiecks. 8. Der Neunpunktekreis wird vom Inkreis und von den drei Ankreisen des Dreiecks ABC berührt.
Folgendes Bild entstand nach Vorlage eines Bildes in der Zeitschrift PM Oktober
2007, S. 49.
Sämtliche Konstruktionen wurden mit Hilfe von geogebra durchgeführt. Quellen für Beweise: http://lsgm.uni-leipzig.de/KoSemNet/pdf/graebe-99-1.pdf http://www.zum.de/Faecher/Materialien/rubin/texte/DreiGeom.pdf |
