Die geometrische Reihe


Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass das Verhältnis zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Das n-te Glied an einer geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a und dem Quotienten q berechnet sich aus  :

a1 = a, a2 = aq, a3 = aq2, a4 = aq3, …

Eine geometrische Reihe ist die Folge, deren n-tes Glied die Summe der ersten n Glieder der zugehörigen geometrischen Folge ist:

sn =  a + aq + aq2 + aq3 + …+ aqn-1 .

Formel zur Berechnung der geometrischen Reihe

Herleitung:

I           sn =  a + aq + aq2 + aq3 + …+ aqn-1

II      sn q =  aq + aq2 + aq3 + aq4 + …+ aqn

I-II  sn - sn q =  a - aqn

         sn (1-q) =  a (1- qn)

Formel:     

Eine unendliche geometrische Reihe entsteht, wenn bei der geometrischen Reihe n gegen Unendlich geht:

Für q<1 gilt:   für   

Dann ergibt sich als Grenzwert für die unendliche geometrische Reihe:

Beispiel:   

Für a = 2 und q = 0,75 ergibt sich als Grenzwert 8.

Dies lässt sich an Hand folgender graphischen Darstellung veranschaulichen:
  

Die Treppenlinie zwischen den Graphen der Funktionen mit den Gleichungen f(x) = 0,75 x und  g(x) = x -2 besitzt folgende Eigenschaften:

  1. Die Dreiecke A1A2A3, A3A4A5, A5A6A7, ... sind alle gleichschenklig rechtwinklig und haben damit gleiche Kathetenlängen. 

  2. Die Dreiecke OA1A2, A2A3A4, A4A5A6, ... besitzen die Steigung q als Quotient zwischen senkrechter und waagrechter Kathetenlänge.

  3. Die senkrechten Projektionen der waagrechten Katheten auf die x-Achse stellen die Glieder der geometrischen Reihe dar.

  4. Die Summe der projizierten Streckenlängen liefert als Grenzwert den Wert 8.

Graphische Veranschaulichung dynamisch

        


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