Koch-Schneeflocke - Grenzwert

1)  Die Kochkurve

Die Koch-Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 entdecktes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Sie stellt außerdem ein Fraktal dar.

Die Koch-Kurve wird durch eine Iteration folgendermaßen beschrieben:

Zunächst sei eine Strecke mit vorgegebener Länge gegeben (Generator). Dann entfernt man das mittlere Drittel der Strecke und errichtet darüber ein gleichseitiges Dreieck mit der Länge der entfernten Strecke (Iterator). Im nächsten Schritt wird der Iterator auf jeden der vier entstandenen Streckenabschnitte angewandt. Diese Iteration wird  nun beliebig oft wiederholt.

2)  Die Koch-Schneeflocke

Die Kantenlänge des gleichseitigen Dreiecks sei 1. Der Umfang der nachfolgenden Koch-Schneeflocke verlängert sich bei jedem Schritt um den Faktor 4/3. Daher geht der Umfang der n-ten Koch-Schneeflocke für  gegen Unendlich.  

Im n-ten Schritt werden  gleichseitige Dreiecke mit Kantenlänge und Fläche  hinzugefügt. Somit ergibt sich für den Flächeninhalt der  n-ten Schneeflocke

Für ergibt sich als Grenzwert für den Flächeninhalt:

Ergebnis:

Für besitzt die Koch-Schneeflocke einen endlichen Flächeninhalt und wird von einer unendlich langen Kurve umschlossen!

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