Kreise im Dreieck - GrenzwertEinem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 1 werden Kreise folgendermaßen einbeschrieben:
Wie groß ist die Summe der Flächeninhalte aller einbeschriebenen Kreise? Lösungen: 1. Weg
(anschaulich geometrisch) : Die einzelnen Kreise entstehen
jeweils durch zentrische Streckung mit dem Zentrum C und dem Streckungsfaktor
1/3 aus dem unteren Kreis mit dem Radius
Zur Begründung: Im gleichseitigen Dreieck ist der Höhenschnittpunkt gleich dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden gleich dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (Inkreismittelpunkt); der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt diese im Verhältnis 2 : 1; Berechnung von h mit Satz des Pythagoras. Die Radien der Kreise sind
dann
Die Summe aller Kreisflächeninhalte ergibt dann folgende unendliche Reihe:
Mit Ausklammern:
oder
Im Trapez ABDE gilt: Verhältnis von Kreisflächeninhalt zu Trapezflächeninhalt:
Die die Kreise umschließenden
Trapezflächen summieren sich zur gesamten Dreieckfläche auf:
Da die Flächenverhältnisse von Kreis und zugehörigem Trapez gleich groß sind (Kreisflächeninhalt und Trapezflächeninhalt sind direkt proportional), muss dies auch für das Verhältnis Gesamtflächeninhalt aller Kreise zu Gesamtflächeninhalt aller Trapeze (= Dreiecksflächeninhalt) gelten:
Daraus folgt:
und schließlich
2. Weg
(geometrische Reihe) Geometrische Reihe:
Für |q| < 1 gilt:
Die Summe (1) stellt eine
geometrische Reihe dar mit Anfangsglied
Mathematisch wird Formel (1) auch folgendermaßen dargestellt:
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