Regelmäßiges Fünfeck und Penrose-Parkette

Das regelmäßige Fünfeck ist eine geometrische Figur mit folgenden Eigenschaften:

1. Alle Seiten a und alle Diagonalen d sind gleich lang.

2. Die grün gekennzeichneten Winkel sind 36°. Die übrigen Winkel sind entweder doppelt so groß, 72°  (blau gekennzeichnet) oder dreimal so groß, 108° (rot gekennzeichnet).

3. Diagonale d und Seite a stehen im Verhältnis des goldenen Schnitts, d.h.   
   . 
   Deshalb enthält das regelmäßige Fünfeck spitze und stumpfe goldene Dreiecke.

4. Ebenso wie das Fünfeck ABCDE ist das Fünfeck VWXYZ regelmäßig. Dieser Vorgang kann rekursiv fortgesetzt werden.

5. Der Abbildungsmaßstab m der Ähnlichkeitsabbildung, die das regelmäßige Fünfeck ABCDE in das regelmäßige Fünfeck VWXYZ abbildet,  ist   
   .

6. Im regelmäßigen Fünfeck befinden sich die Teilfiguren, die die Ausgangsfiguren einer Penrose-Parkettierung darstellen.

Die Grundfiguren einer Penrose-Parkettierung in einem regelmäßigen Fünfeck:

1. Kombination

Kite (konvexer Drachen AXZE) und Dart (konkaver Drachen EZXD).

Das Verhältnis zweier unterschiedlich langer Seiten ist durch den goldenen Schnitt gegeben.

Beide Figuren zusammen ergeben eine Raute.

2. Kombination

Große Raute AXDE und kleine Raute ABA'X.

Alle Seiten sind gleich lang.

Penrose-Parkettierungen

Penrose-Parkettierungen sind nicht-periodische Muster. Lokal können Symmetrien entstehen. Als Ganzes hat ein Penrose-Muster keine symmetrische Anordnung. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, Penrose-Muster zu erzeugen. 

Penrose Parkettierungen mit der 1. Kombination

Penrose Parkettierungen mit der 2. Kombination

Bereits auf islamischen Ornamenten (z.B. Darb-i-Imam-Schrein von 1453, Isfahan, Iran) tauchen Penrose-Parkettierungen auf:

www.zeit.de/2007/10/islammuster

Weitere Literatur- und Quellenangaben

Goldene Schnittmuster

Penrose-Parkette (auf der Homepage von Markus Englisch)

Penrose-Parkett-Generator QuasiG  V.1.4

http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/sarti/symmmetrienvortrag_1502.pdf