Vollkommene (perfekte) Zahlen

Definition:

Vollkommene (perfekte) Zahlen sind gleich der Summe ihrer echten Teiler. 
Z.B. 6 = 1 + 2 + 3,  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 , usw.
  
Vollkommene Zahlen haben die Form  2^(p-1) (2^p – 1), wobei 2^p –1 eine sog. Mersennesche Zahl ist mit einer speziellen Primzahl p als Exponenten. (Marin Mersenne, französicher Mönch, 1588-1648).
  

Mersennesche Zahlen  2^p – 1 sind für folgende Primzahl-Exponenten selbst prim:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, ...

(Marin Mersenne, franz. Mönch, 1588-1648)

Satz (Euklid):

Ist für eine natürliche Zahl n die Zahl p = 1 + 2 + 4 +...+ 2^n-1 = 2ⁿ – 1 eine Primzahl, dann ist p  2^n-1 eine vollkommene Zahl.
  

Die ersten sieben vollkommenen Zahlen:

6 = 1 + 2 + 3 = 2 (2²  – 1)

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 2² (2³ – 1)

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 2⁴ (2⁵ – 1)

8 128 = 1 + 2 + 4 + ... + 64 + 127 + ... + 4064 = 2⁶ (2⁷ – 1)

33 550 336 = 1 + ... + 4096 + 8191 + ... + 16775168 = 2¹² (2¹³ – 1)

8 589 869 056 = 1 + ... + 65536 + 131071 + ... + 4294934528 = 2¹⁶ (2¹⁷ – 1)

137 438 691 328 = 1 + ... + 262144 + 524287 + ... + 68719345664 = 2¹⁸ (2¹⁹ – 1)

...

Den Pythagoräern (Pythagoreern) waren die ersten vier vollkommenen Zahlen bekannt:
6,  28,  496,  8128
  

Vollkommene Zahlen sind Dreieckszahlen und enden auf die Ziffer 6 oder 8.

6 = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + (2² – 1)

28 = 1 + 2 + 3 + ... + 7 = 1 + 2 + 3 + ... + (2³ – 1)

496 = 1 + 2 + 3 + ... + 31 = 1 + 2 + 3 + ... + (2⁵ – 1)

8 128 = 1 + 2 + 3 + ... + 127 = 1 + 2 + 3 + ... + (2⁷ – 1)

33 550 336 = 1 + 2 + 3 + ... + 8191 = 1 + 2 + 3 + ... + (2¹³ – 1)

8 589 869 056 = 1 + 2 + 3 + ... + 131071 = 1 + 2 + 3 + ... + (2¹⁷ – 1)

137 438 691 328 = 1 + 2 + 3 + ... + 524287 = 1 + 2 + 3 + ... + (2¹⁹ – 1)

Allgemeine Lösung:  p  :  2^{(p - 1)} (2^p – 1) = 1 + 2 + 3 + ... + (2ⁿ  – 1)

                               p Primzahl zu Mersennescher Zahl
  

Vollkommene Zahlen, außer 6, sind die Summe der ungeraden Zahlen in der dritten Potenz:

(6, mit p=2, passt nicht in das Muster!)

28 = 1³ + 3³ = 1³ + (2^(3+1)/2 –  1)³

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ = 1³ + 3³ + 5³ + (2^(5+1)/2 –  1)³

8 128 = 1³ + 3³ + ... + 15³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(7+1)/2 –  1)³

33 550 336 = 1³ + 3³ + ... + 127³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(13+1)/2 –  1)³

8 589 869 056 = 1³ + 3³ + ... + 511³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(17+1)/2 –  1)³

137 438 691 328 = 1³ + 3³ + ... + 1023³ = 1³ + 3³ + ... + (2^(19+1)/2 – 1)³

...

Vermutung:   2^(p-1) (2^p – 1) = 1³ + 3³ + ... + (2^(p+1)/2 – 1)³  ist vollkommene Zahl, 

                       p Primzahl zu Mersennescher Zahl

Bisher sind keine ungeraden vollkommenen Zahlen bekannt. Computer haben bisher gezeigt, dass es keine ungeraden vollkommenen Zahlen kleiner als 10³⁰⁰ gibt.