Pythagoreische Tripel

[a, b, c]  mit  a² + b² = c², wobei a, b, und c natürliche Zahlen sind.

Anschauliche Darstellung - Satz des Pythagoras:

 

Programm in der Programmiersprache Python:

ogr = 40

print('Lösungen für a^2 + b^2 = c^2, b>a')

print('   a     b      c')

for a in range (1,ogr+1):

    for b in range (a,ogr+1):

        p = a*a + b*b

        q = p**(1/2)

        c = int(q)

        if c*c == p:

            print('%4d  %4d   %4d' % (a,b,c))

Anzeige:

Lösungen für a^2 + b^2 = c^2, b>a

   a     b      c

   3     4      5

   5    12     13

   6     8     10

   7    24     25

   8    15     17

   9    12     15

   9    40     41

  10    24     26

  12    16     20

  12    35     37

  15    20     25

  15    36     39

  16    30     34

  18    24     30

  20    21     29

  21    28     35

  24    32     40

  27    36     45

  30    40     50

 

Pythagoreische Tripel heißen primitiv, wenn a, b und c teilerfremd sind, d.h. nur den gemeinsamen Teiler 1 haben.

Lösungen für a^2 + b^2 = c^2 für a,b,c teilerfremd

   a     b      c

   3     4      5

   5    12     13

   7    24     25

   8    15     17

   9    40     41

  12    35     37

  20    21     29

  . . .
 

Falls c eine Primzahl ist gilt offensichtlich für c und einer natürlichen Zahl n:
c = 4 n +1  bzw.  c mod 4 = 1 (c geteilt durch 4 gibt Rest 1)

Lösungen mit einem Programm in Python.

Lösungen für a^2 + b^2 = c^2 mit Primzahl c

   a     b     c   c mod 4

   3     4     5      1

   5    12    13      1

   8    15    17      1

   9    40    41      1

  11    60    61      1

  12    35    37      1

  20    21    29      1

  20    99   101      1

  28    45    53      1

  39    80    89      1

  48    55    73      1

  60    91   109      1

  65    72    97      1

  . . .
 

Im Vergleich dazu der

Fermatsche Zwei-Quadrate-Satz:
Eine ungerade Primzahl p ist genau dann die Summe zweier Quadrate, wenn sie von der Form p = 4 n +1 ist, d.h.  p mod 4 = 1 mit einer natürlichen Zahl n.

Diese Primzahlen nennt man auch pythagoreische Primzahlen.

Lösungen mit einem Programm in Python.

Lösungen für a^2 + b^2 = p mit Primzahl p

   a     b     p   p mod 4

   1     2     5      1

   1     4    17      1

   1     6    37      1

   1    10   101      1

   1    14   197      1

   2     3    13      1

   2     5    29      1

   2     7    53      1

   2    13   173      1

   2    15   229      1

   3     8    73      1

   3    10   109      1

   4     5    41      1

   4     9    97      1

   . . .
 

Formel von Pythagoras zur Berechnung der Tripel, wobei gilt c – b = 1 oder c = b + 1 und a ist ungerade, berechnet mit Hilfe von DERIVE:

              2       2    

             a - 1   a + 1  

g(a) := [ a, —————,  ————— ]

                2       2  

VECTOR(g(a), a, 3, 19, 2)

  3    4    5 

  5   12   13 

  7   24   25 

  9   40   41

 11   60   61

 13   84   85 

 15  112  113

 17  144  145

 19  180  181
 

Für Primzahlen a gilt ebenfalls: c = b + 1.

 

Formel von Platon zur Berechnung der Tripel, wobei gilt c – b = 2 und a ist gerade, berechnet mit Hilfe von DERIVE:

 

             a 2     a 2   

h(a) := [ a,(—) - 1,(—) + 1 ]

             2       2     

VECTOR(h(a), a, 4, 20, 2)

  4    3    5 

  6    8   10 

  8   15   17 

 10   24   26 

 12   35   37 

 14   48   50 

 16   63   65 

 18   80   82 

 20   99  101

 

Allgemeine Lösungen für a² + b² = (b + n)²  mit c = b + n oder c – b = n

         2    2      2    2

        a  - n      a  + n 

a, b =  ——————, c = —————— 

          2·n         2·n     

  

Lösungen in Python für a² + b² = c², wobei gilt

für ungerade n: a1 = 3n,

für   gerade n:   a1 = 2n.

   a     b      c   c-b=n

   3     4      5     1

   5    12     13     1

   7    24     25     1

   9    40     41     1

   . . .

   9    12     15     3

  15    36     39     1

  21    72     75     3

  27   120    123     3

  . . .

  15    20     25     5

  25    60     65     5

  35   120    125     5

  45   200    205     5

  . . .

  21    28     35     7      Zusätzliche Lösungen für b<a:

  35    84     91     7

  49   168    175     7

  63   280    287     7

  . . .

  27    36     45     9       15 8 17, 21 20 29  

  33    56     65     9

  39    80     89     9

  45   108    117     9

  . . .

 

   4     3      5     2

   6     8     10     2  

   8    15     17     2

  10    24     26     2

  . . .

   8     6     10     4

  12    16     20     4  

  16    30     34     4

  20    48     52     4

  . . .

  12     9     15     6

  18    24     30     6  

  24    45     51     6

  30    72     78     6

  . . .

 

  16    12     20     8       12 5 13

  20    21     29     8

  24    32     40     8  

  28    45     53     8

  . . .

  20    15     25    10

  30    40     50    10  

  40    75     85    10

  50   120    130    10

  . . .

 


Zurück
Zurück zur Startseite