Pythagoreische Tripel
[a, b, c] mit
a² + b² = c², wobei a, b, und
Anschauliche Darstellung - Satz des Pythagoras:
Programm in der Programmiersprache
Python: ogr = 4 print('Lösungen für a^2 + b^2 = c^2, b>a') print('
a
b
c') for a in range (1,ogr+1):
for b in range (a,ogr+1):
p = a*a + b*b
q = p**(1/2)
c = int(q)
if c*c == p:
print('%4d
%4d
%4d' % (a,b,c))
Anzeige: Lösungen für a^2 + b^2 = c^2, b>a
a b
c
3 4
5
5 12
13
6 8
10
7 24
25
8 15
17
9 12
15
9 40
41
10 24
26
12 16
20
12 35
37
15 20
25
15 36
39
16 30
34
18 24
30
20 21
29
21 28
35
24 32
40
27 36
45
30 40
50 Pythagoreische Tripel heißen primitiv, wenn a, b und c teilerfremd sind, d.h. nur den gemeinsamen Teiler 1 haben. Lösungen für a^2 + b^2 = c^2 für a,b,c teilerfremd
a b
c
3 4
5
5 12
13
7 24
25
8 15
17
9 40
41
12 35
37
20 21
29
. . .
Falls c eine
Primzahl ist gilt offensichtlich
für c und einer natürlichen Zahl n:
Lösungen mit einem Programm in
Python.
Lösungen für a^2 + b^2 = c^2 mit Primzahl c
a
b c
c mod 4
3
4 5
1
5
12 13
1
8
15 17
1
9
40 41
1
11
60 61
1
12
35 37
1
20
21 29
1
20
99 101
1
28
45 53
1
39
80 89
1
48
55 73
1
60
91 109
1
65
72 97
1
. . .
Im
Vergleich dazu der
Fermatsche Zwei-Quadrate-Satz:
Diese Primzahlen nennt man auch pythagoreische Primzahlen.
Lösungen mit einem Programm in
Python.
Lösungen für a^2 + b^2 = p mit Primzahl p
a
b p
p mod 4
1
2 5
1
1
4 17
1
1
6 37
1
1
10 101
1
1
14 197
1
2
3 13
1
2
5 29
1
2
7 53
1
2
13 173
1
2
15 229
1
3
8 73
1
3
10 109
1
4
5 41
1
4
9 97
1
. . . Formel von Pythagoras zur Berechnung der Tripel, wobei gilt c – b = 1 oder c = b + 1 und a ist ungerade, berechnet mit Hilfe von DERIVE:
2
2
a
- 1 a
+ 1
g(a) := [ a, —————, ————— ]
2
2
VECTOR(g(a), a, 3, 19, 2)
3
4 5
5 12
13
7 24
25
9
40 41
11
60 61
13
84 85
15
112 113
17
144 145
19
180 181
Für Primzahlen a gilt ebenfalls: c = b + 1.
Formel von Platon zur Berechnung der Tripel, wobei gilt c – b = 2
und a ist gerade,
berechnet mit Hilfe von DERIVE:
a 2
a 2
h(a) :=
[
a,(—) - 1,(—) + 1
2
2
VECTOR(h(a), a,
4, 20, 2)
4
3 5
6 8
10
8 15
17
10
24 26
12
35 37
14
48 50
16
63 65
18
80 82
20
99 101
Allgemeine Lösungen für a² + b² = (b + n)²
mit c = b + n oder c – b = n
2 2
2 2
a - n
a + n
a, b = ——————,
c = ——————
2·n
2·n
Lösungen in Python für a² + b² =
c², wobei gilt
für ungerade n: a1 = 3n,
für gerade n:
a1 = 2n.
a
b
c c-b=n
3 4
5 1
5 12
13 1
7 24
25 1
9 40
41 1
. . .
9 12
15 3
15
36 39
1
21
72 75
3
27
120 123
3
. . .
15
20 25
5
25
60 65
5
35
120 125
5
45
200 205
5
. . .
21
28 35
7
Zusätzliche Lösungen für b<a:
35
84 91
7
49
168 175
7
63
280 287
7
. . .
27
36 45
9 15 8 17, 21 20 29
33
56 65
9
39
80 89
9
45
108 117
9
. . .
4 3
5 2
6 8
10
2
8 15
17 2
10
24 26
2
. . .
8 6
10 4
12
16 20
4
16
30 34
4
20
48 52
4
. . .
12
9 15
6
18
24 30
6
24
45 51
6
30
72 78
6
. . .
16
12 20
8 12 5 13
20
21 29
8
24
32 40
8
28
45 53
8
. . .
20
15 25
10
30
40 50
10
40
75 85
10
50
120 130
10
. . .
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