Gruppe, zyklische Gruppe, Diedergruppe, symmetrische Gruppe und Translationsgruppe

 

Die Gruppe

Definition

Eine Gruppe (G, ° )  ist eine Menge G  und eine auf dieser Menge definierte Verknüpfung  „ ° “, die folgende Eigenschaften hat:

1)  (G, ° ) ist abgeschlossen, d.h. für alle a, b G gilt:  a ° b ist ebenfalls Element von G.

2)  (G, ° ) ist assoziativ, d.h. für alle a, b, c G gilt: a ° (b ° c) = (a ° b) ° c.

3)  In (G, ° ) existiert ein neutrales Element e, so dass für alle a  G gilt: e ° a = a ° e = a.

4)  Zu jedem Element a G existiert ein inverses Element a -1 G mit  a ° a -1 = a -1 ° a = e.

Ist die Gruppe auch kommutativ, gilt also für alle a, b G  a ° b = b ° a, so heißt die Gruppe abelsche Gruppe.

Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe (G, ° ), die bezüglich der Verknüpfung  „ ° “ selbst wieder eine Gruppe bildet, heißt Untergruppe U von G.  

Oft schreibt man statt "Gruppe (G, ° )"  "Gruppe G mit der Verknüpfung °", oder kurz nur "Gruppe G", falls die Verknüpfung festgelegt ist.

 

Zyklische Gruppe

Definition:

Die zyklische Gruppe Cn der Ordnung n besteht aus den Drehungen um das Vielfache von  eines regelmäßigen n-Ecks um seinen Mittelpunkt als Drehzentrum. Die Gruppenoperation ist die Hintereinanderausführung von Drehungen und Spiegelungen. 

 

Beispiel:  Die zyklische Gruppe C3 = {i, d1, d2}

Bezeichnungen:

d1 :  Drehung um 120° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M

d2 :  Drehung um 240° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M

i = d3 :  identische Abbildung = Drehung um 360° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M

Die Gruppenoperation ° ist die Hintereinanderausführung von Drehungen.

d1 heißt erzeugendes Element der zyklischen Gruppe, wobei gilt:

d2 = d1°d1 = d12 ,    i =  d3 = d1°d1°d1  = d13 . 

Die Verknüpfung zweier Abbildungen erfolgt von links nach rechts.

Verknüpfungstafel (Gruppentafel):
1. Abbildung in der 1. Spalte, 2. Abbildung in der obersten Zeile.

°

i

d1

d2

i

i

d1

d2

d1

d1

d2

i

d2

d2

i

d1

Die zyklische Gruppe C3 ist kommutativ. Die Gruppentafel ist symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale.
Die zyklische Gruppe C3 kann nur von dem Element d1 erzeugt werden: C3 = { d1, d12 , d13 }, wobei gilt:
d12  = d1° d1, d13  = d1° d1° d1  = i. 

  

Diedergruppe

Definition:

Die Diedergruppe Dn der Ordnung 2n besteht aus den Drehungen um das Vielfache von   eines regelmäßigen n-Ecks um seinen Mittelpunkt als Drehzentrum und den n verschiedenen Achsenspiegelungen. Die Gruppenoperation ist die Hintereinanderausführung von Drehungen und Spiegelungen.

Beispiel:   Die Diedergruppe D3 = {i, s1, s2, s3, d1, d2}

Bezeichnungen:

s1    :   Spiegelung an der Achse a1

s2    :   Spiegelung an der Achse a2

s3    :   Spiegelung an der Achse a3

d1 :  Drehung um 120° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M

d2 :  Drehung um 240° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M

i = d3 :  identische Abbildung = Drehung um 360° gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M.

Die Gruppenoperation ° ist die Hintereinanderausführung von Spiegelungen und Drehungen.

 

 

Verknüpfungstafel:

°

i

d1

d2

s1

s2

s3

i

i

d1

d2

s1

s2

s3

d1

d1

  d2  

i

s2

s3

s1

d2

d2

i

  d1  

s3

s1

s2

s1

s1

s3

s2

i

d2

d1

s2

s2

s1

s3

d1

i

d2

s3

s3

s2

s1

d2

d1

i

  

Die Diedergruppe D3 ist nicht kommutativ, da die Gruppentafel keine Symmetrie zur Hauptdiagonalen besitzt.  

Die zyklische Gruppe C3 (hellgrün) ist eine Untergruppe der Diedergruppe D3.

  

Symmetrische Gruppe

Definition:

Die symmetrische Gruppe Sn ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen Menge besteht. Die Gruppenoperation ist die Verkettung (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die Permutation, die alle Elemente invariant lässt.

Die symmetrische Gruppe Sn ist endlich und besitzt die Ordnung n! ; für n > 2 ist sie nicht kommutativ.
 

Beispiel:  Die symmetrische Gruppe S3

Die symmetrische Gruppe S3 besteht aus 6 Elementen, den Permutationen einer dreielementigen Menge, z.B. der Menge {1, 2, 3}.

a) S3  in Matrixschreibweise:

  

    In der 2. Zeile stehen jeweils die zugeordneten Zahlen.

b) S3  kürzer  in Zyklenschreibweise:

    { (1) bzw.( ), (23), (13), (12), (123), (132) }

    

Verknüpfungstafel in Zyklenschreibweise:

o

(1)

(123)

(132)

(23)

(13)

(12)

(1)

(1)

(123)

(132)

(23)

(13)

(12)

(123)

(123)

(132)

(1)

(13)

(12)

(23)

(132)

(132)

(1)

(123)

(12)

(23)

(13)

(23)

(23)

(12)

(13)

(1)

(132)

(123)

(13)

(13)

(23)

(12)

(123)

(1)

(132)

(12)

(12)

(13)

(23)

(132)

(123)

(1)


   

Ein Vergleich der Verknüpfungstafeln von S3 und D3  liefert die gleiche Gruppenstruktur. Man sagt, dass die Symmetriegruppe S3 isomorph zur Diedergruppe D3 ist. Isomorphie (Isomorphismus) bedeutet dabei eine umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen.

Wenn man die Eckpunkte A1, A2 und A3 des obigen gleichseitigen Dreiecks durch die Zahlen 1, 2 und 3 ersetzt, wird der Zusammenhang deutlich:

Die Permutationen  (23), (13), (12),  (123), (132) entsprechen den Spiegelungen s1, s2, s3 und den Drehungen d1, d2 .  

Die beiden zugehörigen Gruppentafeln zeigen die gleiche Struktur.

 

Zyklische Gruppen als Untergruppen:

C3 = { (1), (123), (132) }

C2 = { (1), (12) } ,  C2 = { (1), (13) }  oder  C2 = { (1), (23) }

  

Translationsgruppe eines ebenen Gitters

Definition:

Die Linearkombination   x = m a + n b  der Verschiebungsvektoren a und b  mit ganzzahligen Parametern  m und n, bezogen auf einen beliebigen Knotenpunkt als Zentrum O, bildet die diskrete Translationsgruppe T eines ebenen Gitters.

   

   

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