Parkettierung mit regelmäßigen Vielecken 

  
Eine Parkettierung der Ebene besteht aus einer Menge von Parkettsteinen oder Grundmustern, die die Ebene ohne Überlappungen und ohne Lücken bedeckt.

Als Grundmuster werden hier nur regelmäßige Vielecke betrachtet.

Reguläre Parkettierungen, die genau ein Grundmuster benötigen, entstehen nur durch das gleichseitige Dreieck, Quadrat oder regelmäßige Sechseck.

Das Grundmuster besteht aus zwei symmetrischen gleichseitigen Dreiecken. 

Quadrat als Grundmuster

Reguläres Sechseck als Grundmuster

Durch schrittweise Verschiebung des Grundmusters in Richtung oder Gegenrichtung des grünen oder blauen Pfeils entsteht die reguläre Parkettierung.

Der grüne und blaue Pfeil sind Repräsentanten zweier linear unabhängiger Vektoren  , die die Parkettierung erzeugen. Durch Addition und Subtraktion dieser Vektoren entstehen repräsentativ der gelbe und orange Pfeil. Diese beiden Pfeile geben zwei weitere mögliche Verschiebungsrichtungen des Grundmusters an.

Durch Linearkombination von   kann jede Position des Grundmusters in der Parkettierung angesteuert werden.

Die Linearkombination  mit ganzen Zahlen m und n bezogen auf einen beliebigen Knotenpunkt als Zentrum O bildet die diskrete Translationsgruppe .  

Halbreguläre Parkettierungen entstehen bei Verwendung von mehr als einem Grundmuster. 

Beispiele:

Zwei verschiedene Grundmuster:

Regelmäßiges Fünfeck und konkaves Fünfeck 
mit gleich langen Seiten. 

Der orange Pfeil ist hier der Gegenpfeil zum
grünen Pfeil.

Drei verschiedene Grundmuster:

Zwei symmetrische regelmäßige Fünfecke und 
zwei verschiedene Rauten.

Zwei verschiedene Grundmuster:

Ein regelmäßiges Achteck und ein Quadrat.

Die Verschiebungseigenschaften sind die gleichen wie bei der regulären Parkettierung.