Archimedische Körper

Die archimedischen Körper sind regelmäßige geometrische Körper. Sie sind konvexe Vielflächner (Polyeder). Konvex bedeutet, dass die Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte des Körpers im Körper liegt.

Eigenschaften der archimedischen Körper:

1. Ihre Seitenflächen sind regelmäßige Vielecke (Polygone) und sie haben gleich lange Kanten.

2. Sie besitzen als Hüllkörper platonische Körper und sind selbst keine platonischen Körper und auch keine Prismen.

3. Alle Ecken des archimedischen Körpers verhalten sich bezüglich der angrenzenden Vielecke gleich und damit lässt er sich durch die Abfolge der angrenzenden Vielecke entgegen dem Uhrzeigersinn (Linksdrehsinn) oder im Uhrzeigersinn (Rechtsdrehsinn) um eine Ecke eindeutig kennzeichnen.

4. Sie besitzen alle eine Umkugel, auf der alle Eckpunkte liegen.

Darstellung der archimedischen Körper mit ihren Umkugeln

1)  Der Tetraederstumpf

Der Tetraederstumpf ist ein abgestumpftes Tetraeder. Das Tetraeder ist der Hüllkörper des abgestumpften Tedraeders.

Es besitzt 12 Ecken, 18 Kanten und 8 Seitenflächen, 4 gleichseitige Dreiecke und 4 reguläre Sechsecke.

   Die Flächenfolge an den Ecken ist 3,6,6 (Links- oder Rechtsdrehsinn).  

Volumen des Tetraederstumpfs V_Ts = 23/12 √2 a³ ≈ 2,711 a³,  a = Kantenlänge

Volumen der Umkugel V_Uk = 11/24 √22 π a³ ≈ 6,754 a³

V_Ts : V_Uk ≈ 0,401 = 40,1%, Anteil Tetraederstumpfvolumen am Umkugelvolumen

2)  Das Kuboktaeder

Das Kuboktaeder ist entweder vom Oktaeder oder vom Würfel abgestumpft.

Der Hüllkörper des Kuboktaeders ist entweder ein Oktaeder oder ein Würfel.

Es besitzt 12 Ecken, 24 Kanten und 14 Seitenflächen, 8 gleichseitige Dreiecke und 6 Quadrate.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 3,4,3,4.

Volumen des Kuboktaeders V_Ko = 5/3 √2 a³, a = Kantenlänge

Volumen der Umkugel V_Uk = 4/3 π a³ mit Umkugelradius R = a

V_Ko : V_Uk ≈ 0,563 = 56,3%,  Anteil Kuboktaedervolumen am Umkugelvolumen

3)  Der Hexaederstumpf

Der Hexaederstumpfs ist entweder vom Oktaeder oder vom Würfel abgestumpft.

Er besitzt 24 Ecken, 36 Kanten und 14 Seitenflächen, 8 gleichseitige Dreiecke und 6 reguläre Achtecke.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 3,8,8.

Volumen des Hexaederstumpfs V_Hs = (21 + 14√2)/3 a³, a = Kantenlänge

Umkugelradius R = 1/2 √(7 + 4√2) a

Volumen der Umkugel V_Uk ≈ 23,6 a³

V_Hs : V_Uk ≈ 0,577 = 57,7%,  Anteil Hexaederstumpfvolumen am Umkugelvolumen

4)  Der Oktaederstumpf

Der Oktaederstumpf ist vom Oktaeder abgestumpft.

Er besitzt 24 Ecken, 36 Kanten und 14 Seitenflächen, 6 Quadrate und 8 reguläre Sechsecke.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 4,6,6.

Volumen des Oktaederstumpfs V_Os = 8√2 a³

Radius der Umkugel R = 0,5√10 a

Volumen der Umkugel V_Uk = 5/3 √10 π a³

V_Os : V_Uk ≈ 0,683 = 68,3% Anteil Oktaederstumpfvolumen am Umkugelvolumen

5)  Das Rhombenkuboktaeder

Der Rhombenkuboktaeders ist vom Würfel abgestumpft.

Es besitzt 24 Ecken, 48 Kanten und 26 Seitenflächen, 8 gleichseitige Dreiecke und 18 Quadrate.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 3,4,4,4.

Volumen des Rhombenkuboktaeders V_Rko = 2/3 (6 + 5√2) a³

Radius der Umkugel R = 1/2 √(5 + 2√2) a

Volumen der Umkugel V_Uk ≈ 11,47 a³

V_Rko : V_Uk ≈ 0,760 = 76,0%

6)  Der Kuboktaederstumpf

Der Kuboktaederstumpf ist entweder vom Oktaeder oder vom Würfel abgestumpft.

Er besitzt 48 Ecken, 72 Kanten und 26 Seitenflächen, 12 Quadrate, 8 reguläre Sechsecke und 6 reguläre Achtecke.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 4,6,8.

Volumen des Kuboktaederstumpfs V_Kos = 2 (11 + 7√2) a³

Radius der Umkugel R = 0,5 √(13 + 6√2)

Volumen der Umkugel V_Uk ≈ 52,1 a³

V_Rko : V_Uk ≈ 0,802 = 80,2%

7)  Das abgeschrägte Hexaeder

Das abgeschrägte Hexaeder ist vom Würfel abgestumpft.

Es besitzt 24 Ecken, 60 Kanten und 38 Seitenflächen, 32 gleichseitige Dreiecke und 6 Quadrate.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 3,3,3,3,4.

Volumen des abgeschrägte Hexaeders V_aH ≈ 7,889 a³

Radius der Umkugel R ≈ 1,344 a

Volumen der Umkugel V_Uk ≈ 10,163 a³

V_aH : V_Uk ≈ 0,776 = 77,6%

8)  Ikosidodekaeder

Das Ikosidodekaeder ist vom Dodekaeder abgestumpft.

Es besitzt 30 Ecken, 60 Kanten und 32 Seitenflächen, 20 gleichseitige Dreiecke und 12 reguläre Fünfecke.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 3,5,3,5.

Volumen des Ikosidodekaeders V_Id = (45 + 17√5)/6 a³ ≈ 13,84 a³

Radius der Umkugel R = (1 + √5)/2 a

Volumen der Umkugel V_Uk = (8 + 4√5)/3 π a³ ≈ 17,74 a³

V_Id : V_Uk ≈ 0,780 = 78,0%

9)  Der Dodekaederstumpf

Der Dodekaederstumpf ist vom Dodekaeder abgestumpft.

Er besitzt 60 Ecken, 90 Kanten und 32 Seitenflächen, 20 gleichseitige Dreiecke und 12 reguläre Zehnecke.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 3,10,10.

Volumen des Dodekaederstumpfs V_Ds = 5 (99 + 47√5)/12 a³ ≈ 85,04 a³

Radius der Umkugel R = √(74 + 30√5)/4 a

Volumen der Umkugel V_Uk = (8 + 4√5)/3 π a³ ≈ 109,68 a³

V_Ds : V_Uk ≈ 0,775 = 77,5%

10)  Ikosaederstumpf

Der Ikosaederstumpf ist vom Ikosaeder abgestumpft. Er war 35 Jahre lang das geometrische Grundgerüst des Fußballs.

Er besitzt 60 Ecken, 90 Kanten und 32 Seitenflächen, 12 reguläre Fünfecke und 20 reguläre Sechsecke.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 5,6,6.

Volumen des Ikosaederstumpfs V_Is = (125 + 43√5)/4 a³ ≈ 55,29 a³

Radius der Umkugel R = √(58 + 18√5)/4 a

Volumen der Umkugel V_Uk ≈ 63,74 a³

V_Is : V_Uk ≈ 0,867 = 86,7%

11)  Rhombenikosidodekaeder

Das Rhombenikosidodekaeder ist vom Dodekaeder abgestumpft.

Er besitzt 60 Ecken, 120 Kanten und 62 Seitenflächen, 20 gleichseitige Dreiecke, 30 Quadrate, 12 reguläre Fünfecke.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 3,4,5,4.

Volumen des Rhombenikosidodekaeders V_Rid = (60 + 29√5)/3 a³ ≈ 41,62 a³

Radius der Umkugel R = √(11 + 4√5)/2 a ≈ 2,233 a

Volumen der Umkugel V_Uk ≈ 46,64 a³

V_Rid : V_Uk ≈ 0,892 = 89,2%

12)  Ikosidodekaederstumpf

Der Ikosidodekaederstumpf ist vom Dodekaeder abgestumpft.

Er besitzt 120 Ecken, 180 Kanten und 62 Seitenflächen, 30 Quadrate, 20 reguläre Sechsecke und 12 reguläre Zehnecke.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 4,6,10.

Volumen des Ikosidodekaederstumpfs V_Ids = 5 (19 + 10√5) a³ ≈ 206,8 a³

Radius der Umkugel R = √(31 + 12√5)/2 a ≈ 3,802 a

Volumen der Umkugel V_Uk ≈  230,28 a³

V_Ids : V_Uk ≈ 0,898 = 89,8%

13)  Abgeschrägtes Dodekaeder

Das abgeschrägte Dodekaeder ist vom Dodekaeder abgestumpft.

Er besitzt 60 Ecken, 150 Kanten und 92 Seitenflächen, 80 gleichseitige Dreiecke und 12 reguläre Fünfecke.

Die Flächenfolge an den Ecken ist 3,3,3,3,5.

Volumen des abgeschrägten Dodekaeders V_aD ≈ 37,616 a³

Radius der Umkugel R ≈ 2,156 a

Volumen der Umkugel V_Uk ≈  41,968 a³

V_aD : V_Uk ≈ 0,896 = 89,6%

Bemerkung:

Die letzten drei archimedischen Körper (11, 12, 13) besitzen den größten Volumenanteil bezüglich der Umkugel, d.h. sie nähern sich der Kugelform am besten an. Als Vorlage für den Fußball haben sie sich wegen ihrer größeren Komplexität nicht durchgesetzt.

Vom abgeschrägten Hexaeder (7) und vom abgeschrägten Dodekaeder (13) existieren je zwei spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten.

Geschichte:

Archimedes von Syrakus lebte im 3. Jahrhundert v. Chr. und war ein bedeutender griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Die Originalarbeit über die 13 nach ihm benannten Körper ist nicht erhalten. Der Mathematiker Pappos (ca. 290 – 350 n. Chr.) hat jedoch beschrieben, dass Archimedes diese 13 Körper dargestellt hat.

Johannes Kepler entdeckte 1618 das Dritte nach ihm benannte Gesetz und veröffentlichte es 1619 in dem Werk Harmonices mundi libri V. In den Kapiteln 62 und 64 de Figurarum Harmon sind die 13 archimedischen Körper dargestellt:

Quellen:

Archimedischer Körper – Wikipedia

Category:Harmonices Mundi; Smithsonian scans – Wikimedia Commons

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