Vom
Ikosaeder zum Klettergerüst
Der Ikosaeder ist ein platonischer Körper,
der von 20 deckungsgleichen (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken begrenzt
wird.
Wenn man die Mittelpunkte der Kanten
verbindet, erhält man den Ikosidodekaeder.
Er besteht aus 12 kongruenten regulären
Fünfecken und 20 kongruenten gleichseitigen Dreiecken.
Über den Eckpunkten der regulären Fünfecke
werden nun 5 gleich lange Strecken so angeordnet, dass sie sich in einem
gemeinsamen Punkt treffen, der auf der Umkugel um den Ikosidodekaeder liegt.
Damit entsteht ein erweiterter Ikosidodekaeder.
Für den Umkugelradius R eines erweiterten
Ikosidodekaeders mit der Seitenlänge a der gleichseitigen Dreiecke bzw.
Fünfecke gilt:
(goldene Schnittzahl
τ ≈ 1,618)
Das reguläre Fünfeck, das in der zur
senkrechten Querschnittsebene durch AB gehende Ebene liegt, wird um die
Achse AB um 90° zur besseren Darstellung gedreht.
h2 = R2 – r2 (Pythagoras)
s2 = r2 + (R–h)2
(Pythagoras)
s
≈
0,884 a
Der erweiterte Ikosidodekaeder kann
als gutes Kantenmodell einer Kugel betrachtet werden.
Die obere Hälfte des
erweiterten
Ikosidodekaeders kann als Vorlage für ein Klettergerüst dienen.
Ein Klettergerüst dieser Form ist
hier zu sehen.
Für a = 85 cm ergibt sich s
≈
75,1 cm.
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