Anordnung von sich berührenden Kugeln um die In- oder Umkugel
eines platonischen Körpers

Die sich berührenden Außenkugeln haben jeweils den gleichen Radius r_A.

Für den Radius r_A der sich berührenden 4 Außenkugeln des Tetraeders mit der berührten Inkugel mit Radius r_I gilt:

r_A : r_I : ≈ 4,45 oder r_I : r_A ≈ 0,225

Berechnung:

Inkugelradius r_I = 1/12 √6 a; Umkugelradius r_U = 1/4 √6 a

a² = r_U² + r_U² – 2 r_U² cos(φ)  (Kosinussatz)

a² = 3/4 (1 – cos(φ)) a²

cos(φ) = - 1/3

φ ≈ 109,471°

sin(φ/2) = r_A / (r_I + r_A)

r_A = 0,9082 a

r_A / r_I = 0,9082 / 0,2041 ≈ 4.449

Für den Radius r_A der sich berührenden 6 Außenkugeln des Hexaeders mit der berührten Inkugel mit Radius r_I gilt:

r_A : r_I  ≈ 2,414  oder  r_I : r_A  ≈ 0,414

Berechnung:

Inkugelradius r_I = 1/2 a; Umkugelradius r_U = 1/2 √3 a

sin(45°) = r_A / (r_I + r_A)

r_A = 1/2 (1 + √2) a

r_A / r_I = (1 + √2) ≈ 2,414

r_I / r_A = 1 / (1 + √2) = √2 – 1 ≈ 0,414

Für den Radius r_A der sich berührenden 8 Außenkugeln des Hexaeders mit der berührten Umkugel mit Radius r_U gilt:

r_A : r_U  ≈ 1,37  oder  r_U : r_A  ≈ 0,73

Berechnung:

Inkugelradius r_I = 1/2 a; Umkugelradius r_U = 1/2 √3 a

a² = r_U² + r_U² – 2 r_U² cos(φ)  (Kosinussatz)

a² = 3/2 (1 – cos(φ)) a²

φ ≈ 70,529°

sin(φ/2) = r_A / (r_U + r_A)

r_A ≈ 1,1830 a

r_A / r_U = 1,366

Für den Radius r_A der sich berührenden 8 Außenkugeln des Oktaeders mit der berührten Umkugel mit Radius r_U gilt:

r_A : r_U  ≈ 1,37  oder  r_U : r_A  ≈ 0,73

Berechnung wie zuvor.

Für die Umkugel des Oktaeders gilt dasselbe Verhältnis wie für die Inkugel des Hexaeders.

Für die Inkugel des Oktaeders gilt dasselbe Verältnis wie für die Umkugel des Hexaeders.

Für den Radius r_A der sich berührenden 20 Außenkugeln des Dodekaeders mit der berührten Umkugel mit Radius r_U gilt:

r_A : r_U ≈ 0,55  oder  r_U : r_A ≈ 1,80

Berechnung:

Umkugelradius r_U = 1/4 (√3 + √15) a ≈ 1,401 a

a² = r_U² + r_U² – 2 r_U² cos(φ)  (Kosinussatz)

a² ≈ 3,927 (1 – cos(φ)) a²

cos(φ) ≈ 0.74536

φ ≈ 41,810°

sin(φ/2) = r_A / (r_U + r_A)

r_A ≈ 0.7774 a

r_A / r_U ≈ 0,5548

Für den Radius r_A der sich berührenden 12 Außenkugeln des Ikosaeders mit der berührten Umkugel mit Radius r_U gilt:

r_A : r_U ≈ 1,11  oder  r_U : r_A ≈ 0,90

Berechnung:

Umkugelradius r_U = 1/4 √(10 + 2√5) a ≈ 0,951 a

a² = r_U² + r_U² – 2 r_U² cos(φ)  (Kosinussatz)

a² ≈ 1,809 (1 – cos(φ)) a²

cos(φ) ≈ 0.4472

φ ≈ 63,435°

sin(φ/2) = r_A / (r_U + r_A)

r_A ≈ 1,0543 a

r_A / r_U ≈ 1,109

Für die Inkugel des Ikosaeders gilt dasselbe wie für die Umkugel des Dodekaeders und umgekehrt.

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