Quader, Würfel, Spat (Parallelepiped)

Der Quader

Der Quader ist ein geometrischer Körper, der 6 Rechtecke als Seitenflächen besitzt, von denen jeweils zwei gegenüberliegende gleich groß und zueinander parallel sind.

Er besitzt 12 Kanten, von denen jeweils 4 gegenüberliegende gleich lang sind, und 8 Ecken.

Es gilt der Polyedersatz von L. Euler (1707 – 1783): e + f = k + 2
e = Anzahl der Ecken, f = Anzahl der Flächen, k = Anzahl der Kanten.

Nach Polyedersatz von Euler: 6 + 8 = 12 + 2.

Symmetrie:

a_1, a₂ und a₃ sind zweizählige Drehachsen, d.h. bei einer Drehung um 180° kommt der Quader wieder auf sich zur Deckung.

Es gibt 3 Symmetrieebenen durch die Mittelpunkte der Kanten.

Der Quader ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M.

Netz des Quaders:

Oberflächeninhalt A des Quaders:

A = 2∙(a∙b + a∙c +b∙c) = 2(ab + ac +bc)

Volumeninhalt V des Quaders:

V = a∙b∙c = abc

Länge der Raumdiagonale e:

d² = a² + b²  (Pythagoras)

d = √( a² + b²)

e² = d² + c²  (Pythagoras)

e =

Die Raumdiagonalen [AG], [CE], [BH] und [DF] haben die gleiche Länge e.

Umkugel des Quaders:

Radius R der Umkugel des Quaders:

R = ½

Der Würfel

 Der Würfel ist ein Quader mit 6 gleich großen Quadraten als Seitenflächen. Er besitzt 12 gleich lange Kanten und 8 Ecken.

Symmetrie: Der Würfel besitzt

6 zweizählige Drehachsen a durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten,
4 dreizählige Drehachsen b durch gegenüberliegende Ecken,
3 vierzählige Drehachsen c durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen,
9 Symmetrieebenen E, jeweils drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte parallel zu den Seitenflächen, sechs Ebenen durch jeweils zwei diagonal gegenüberlegende Kanten,
1 Punktsymmetrie zum Mittelpunkt.

Netz des Würfels:

Oberflächeninhalt A des Würfels:

A = 6∙a∙a = 6a²

Volumeninhalt V des Würfels:

V = a∙a∙a = a³

Radius R der Umkugel und Radius r der Inkugel:

e = |BH| = √(3a²) = a√3

Daraus folgt: R = e/2 = √3/2 a

r = a/2 (Strahlensatz)

Der Spat (das Parallelepiped)

Der Spat oder das Parallelepiped ist ein geometrischer Körper, der von 6 Parallelogrammen begrenzt wird, von denen je zwei gegenüberliegende gleich groß sind und in parallelen Ebenen liegen.

Netz des Spats:

Berechnung des Oberflächeninhalts A des Spats:

Grundfläche (hellbraun):

Höhe des Parallelogramms:

sin(α) = h/b; h = b∙sin(α)

Flächeninhalt des Parallelogramms:

a∙b∙sin(α)

Daraus folgt:

A = 2∙(a∙b∙sin(α) + a∙c∙sin(β) + b∙c∙sin(γ))

Berechnung des Volumeninhalts V des Spats:

Mit Hilfe der Vektorrechnung lässt sich der Volumeninhalt V des Spats berechnen:

(siehe Vektoren im Raum)

Die geometrische Berechnung mit Hilfe der Höhe des Spates und der Grundfläche G mit den gegebenen Winkeln α, β und γ ist wesentlich komplizierter: V = G∙h.

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