Goldener Schnitt – Konstruktionen, Vielecke

Es gelten folgende Bezeichnungen und Beziehungen:

Major - minor

An Stelle von τ (tau) wird auch Φ (Phi) verwendet.

Von Johannes Kepler (1571-1630) stammt folgender denkwürdige Satz:

Die Geometrie birgt zwei große Schätze:
der eine ist der Satz von Pythagoras,
der andere der Goldene Schnitt.
Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen,
den zweiten können wir ein kostbares Juwel nennen.

Teilung einer Strecke [AB] im goldenen Schnitt (stetige Teilung) nach Heron von Alexandria (1 Jh. n. Chr.):

Die Ziffern in Kreisen geben jeweils die Reihenfolge der Konstruktionsschritte an.

Begründung:

Teilung einer Strecke [AB] im goldenen Schnitt nach Euklid (3. Jh. v. Chr., Euklid spricht von einer stetig geteilten Strecke):

Begründung:

Äußere Teilung einer Strecke [AB] im goldenen Schnitt:

Begründung:

Konstruktion von s und τ :

Begründung:

Konstruktion des goldenen Rechtecks:

AEFD ist ein goldenes Rechteck, BEFC ebenfalls.

Konstruktion mit Begründung entsprechend der äußeren Teilung (s.o.).

Goldene Spirale durch ineinandergeschachtelte Quadrate und zunehmend besser genäherte goldene Rechtecke:

Die blauen Linien schneiden sich in genau einem Punkt im Ausgangsquadrat.

Die goldene Spirale (spezielle logarithmische Spirale) hat die Funktionsgleichung in Polarform mit dem Radius r in Abhängigkeit vom Drehwinkel φ:

Goldener Schnitt im Halbkreis mit einbeschriebenem Quadrat:

Konstruktion mit Begründung entsprechend der äußeren Teilung (s.o.).

Goldener Schnitt im Quadrat mit gleichschenkligem Dreieck:

Begründung:

Gleichseitiges Dreieck und goldener Schnitt

gls-Dreieck-GS

Begründung:

(Pythagoras in Dreieck BDC)

(Höhe im gleichseitigen Dreieck)

(Pythagoras im Dreieck PCF)

Daraus folgt:

Goldener Schnitt im gleichseitigen Dreieck mit Umkreis von George Odom (1982):

Begründung:

Goldener Schnitt im gleichseitigen Dreieck mit Möndchen

GS-Moendchen

Begründung:

Nach vorhergehender Figur gilt:

Goldener Schnitt im gleichseitigen Dreieck mit √2

gs-dreieck-w2-1 gs-dreieck-w2-2

Begründung:

Kosinussatz: a² = b² + c² – 2bc cos(α)

Daraus folgt für das Dreieck AFC:

(√2)² = b² + 1² – 2b٠½

b² – b – 1 = 0

b = (1 + √5)/2 = τ ≈ 1,618

|AB| = τ – 1 = σ

Goldenes rechtwinkliges Dreieck mit Quadrat

Einem rechtwinkligen Dreieck werde ein Quadrat so einbeschrieben, dass die linke untere Ecke mit dem Mittelpunkt der Hypotenuse übereinstimmt. Die Hypotenuse c habe die Seitenlänge 2.

Konstruktion von C und Quadrat bei gegebenem A und B.

rw-Dreieck-Quadrat Dreieck-Quadrat-Konstr

Herleitung der Verhältnisse im goldenen Schnitt: Dreieck-Quadrat-Reihe

△AMF ist ähnlich zu △DBE:

q : 1 = (1 – q) : q
q² + q – 1 = 0

q = (√5 – 1)/2 = σ

(1 – q)/q = σ ≈ 0,618

|DB| : |MD| = σ

△ABC ist ähnlich zu △AMF:

a : b = q : 1 = σ ≈ 0,618

△DBH ist ähnlich zu △HEF:

x : (1 – q) = (q – x) : q
x = q – q²; x = √5 – 2

y = q – x = (3 – √5)/2

x : y = = (√5 – 1)/2 = σ

△GEF ist ähnlich zu △AMG:

v : w = q : 1 = σ

v berechnen:

v = q – w; w = v/ σ

v = σ – v/ σ

v (1 + σ) = σ²

v = σ²/(1 + σ)= √5 – 2

△GSF ist ähnlich zu △HES:

v/y = x/y = σ

r : s = v : y = σ und v : y = r : s = σ

Bemerkung: Die Verhältnisse gelten allgemein für beliebiges c.

Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck:

Begründung:

Die Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks sind alle gleich groß (540° : 5 = 108°).

Aus der Kongruenz der Dreiecke ABC, BCD, CDE, DEA und EAB (SWS) folgt,

dass die Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck gleich lang sind.

Goldener Schnitt in einer Raute des regelmäßigen Fünfecks:

Begründung:

Die kongruenten Dreiecke ABC, BCD, CDE usw. sind gleichschenklig und besitzen damit die Innenwinkel 36°,108° und 36° (Winkelsumme im Dreieck gleich 180°).

Über die Winkel lässt sich folgern, dass das Viereck ABCS ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten sein muss und damit eine Raute darstellt.

Aus der obigen Begründung folgt ebenfalls: (d - a) : a = s.

Bemerkung:

Mathematikprofessor Sir Roger Penrose hat mit dem konvexen Drachen ABTS (Kite) und dem konkaven Drachen STBC (Dart) als Grundfiguren eine nichtperiodische Parkettierung der Ebene erzeugt.

Sinus, Cosinus und die goldenen Schnittzahlen σ und τ.

gs-sin-cos