2 × 2 Matrix und Determinante

Eine Matrix ist in der Mathematik ein rechteckiges Schema, das aus Zahlen oder anderen mathematischen Objekten angeordnet in Zeilen und Spalten besteht. Sie dient dazu, Daten übersichtlich zu strukturieren, lineare Gleichungssysteme zu lösen oder lineare Abbildungen, wie z. B. Drehungen und Spiegelungen, zu beschreiben. Hier wird in Beispielen die quadratische 2 × 2 Matrix behandelt.

Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Lösungsvariablen

Gegebenes Gleichungssystem

a₁₁ ∙ x₁ + a₁₂ ∙ x₂ = c₁

a₂₁ ∙ x₁ + a₂₂ ∙ x₂ = c₂

Darstellung mit Matrix A und Vektoren und :

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor:

Gleichungssystem in Matrix- und Vektorform:

Multiplikation der Matrix A mit einem Skalar (einer Zahl) s ∊ ℝ :

Lösung des Gleichungssystems mit Hilfe von Determinanten.

D ist die Determinante von A, D = det(A):

Lösung für D ≠ 0 (Cramersche Regel):

Lösung des Gleichungssystems mit Hilfe von Matrizen:

Inverse Matrix A^-1 zu A:

Beispiel:

Gegebenes ist das Gleichungssystem:

I   2x + 3y = 8,5

II  3x – 2y = 3

Lösung mit Hilfe von Determinanten:

x = (-26)/(-13);   x = 2;

y = (-19,5)/(-13); y = 1,5.

Lösung mit Hilfe von Matrizen:

x = 2; y = 1,5

Lösung mit dem Additionsverfahren, 

z.B. y eliminieren:

I   2x + 3y = 8,5    | ٠2

II  3x – 2y = 3       | ٠3

2∙I+3∙II 4x + 9x + 6y – 6y = 17 + 9

                              13x = 26

                                  x = 2

Einsetzen in I:

      4 + 3y = 8,5   | – 4

             3y = 4,5  | : 3

               y = 1,5

Anwendung der 2 × 2 Matrix in der ebenen Abbildungsgeometrie

Lineare Abbildung: ' = A ∙

Beispiele für Abbildungen:

seien die einzelnen Eckpunkte eines Dreiecks in Vektorform.

Beispielrechnung:

B(3| 1); k = 2. Dann ist B‘(6| 2).

Beispielrechnung:

A(2| 1); α = 90°. Dann ist A‘(-1| 2).

Der Flächeninhalt des Bilddreiecks A’B’C‘ ist zweimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks ABC. (Begründung s. 2 × 2 Determinante)

Die Parallelverschiebung entsteht durch Addition eines Vektors zu den Vektorkoordinaten des gegebenen Punktes: ' = +

Geometrische Anwendung einer 2 × 2 Determinante

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Der Flächeninhalt des von den beiden nicht parallelen Vektoren  und  aufgespannten Parallelogramms ist gleich

Beispiel:

   Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist 10.

Der Vergößerungsfaktor v des Flächeninhalts einer geometrischen Figur bei der Abbildung durch die Matrix

ist gegeben durch die Determinante.

Beispiele:

Streckung:

det(A) = 4. Streckungsfaktor k ist 2, Vergößerungsfaktor v ist 4.

Drehung:

det(A) = cos(α)² + sin(α)² = 1. Der Flächeninhalt der gegebenen Figur bleibt gleich groß, v ist 1.

Bei einer Abbildung mit der Matrix A gilt:

|det(A)|>1: Der Flächeninhalt der gegebenen Figur wird um den Faktor v = det(A) vergrößert.

0<|det(A)|<1: Der Flächeninhalt der gegebenen Figur wird um den Faktor v = det(A) verkleinert.

|det(A)|=1: Der Flächeninhalt der gegebenen Figur bleibt gleich groß.

det(A)=0: Der Flächeninhalt wird bei der Abbildung 0. Bild einer Fläche wird zu einer Strecke.

               Die beiden die Matrix A bildenden Vektoren  und  sind parallel (linear abhängig).