3 × 3 Matrix und Determinante

Eine Matrix ist in der Mathematik ein rechteckiges Schema, das aus Zahlen oder anderen mathematischen Objekten angeordnet in Zeilen und Spalten besteht. Sie dient dazu, Daten übersichtlich zu strukturieren, lineare Gleichungssysteme zu lösen oder lineare Abbildungen, wie z. B. Drehungen und Spiegelungen, zu beschreiben. Hier wird die quadratische 3 × 3 Matrix behandelt.

Lösen von Gleichungssystemen mit drei Lösungsvariablen

Gegebenes Gleichungssystem

a11 ∙ x1 + a12 ∙ x2 + a13 ∙ x3 = c1

a21 ∙ x1 + a22 ∙ x2 + a23 ∙ x3 = c2

a31 ∙ x1 + a32 ∙ x2 + a33 ∙ x3 = c3

Darstellung mit Matrix A und Vektoren vektor-x und vektor-c

A-x-c

Multiplikation von Matrix und Vektor:

A-mal-v

Gleichungssystem in Matrix- und Vektorform:

gls-M-v

Multiplikation der Matrix A mit einem Skalar (einer Zahl) s ∊ ℝ :

s-mal-A

 

Lösung eines Gleichungssystems mit drei Lösungsvariablen mit Hilfe von Determinanten, D = det(A):

determinante D

D-merkregel

Merke: Summe der Produkte der Hauptdiagonalen (grün) – Summe der Produkte der Nebendiagonalen (blau).

det-Dx

Lösung für D ≠ 0 (Cramersche Regel):

D-loesung

Beispiel:

Gegebenes ist das Gleichungssystem:

I   1x + 2y + 1z = 2
II  2x – 1y + 3z = 5 

III 3x + 2y – 1z = 2    

Lösung mit Hilfe von Determinanten:

D-loesung-bsp

x1 = 24/24;  x1 = 1

x2 = 0/24;   x2 = 0

x3 = 24/24;  x3 = 1

 

Anwendung der 3 × 3 Matrix in der räumlichen Abbildungsgeometrie.

Lineare Abbildung: vektor-x' = A ∙ vektor-x.

vektor-x seien die Eckpunkte eines Tetraeders in Vektorform, A eine 3×3 Matrix, vektor-x ‘ die Bildpunkte.

Besondere Abbildungen mit der gegebenen Matrix A in Beispielen.

Spiegelungen an den Koordinatenebenen:

spiegelung-x1x2-Ebene    spiegelung-x2x3-Ebene    spiegelung-x1x3-Ebene

Berechnungsbeispiel:                                B(3| 1| 0); B‘(-3| 1| 0)

                                                          spiegelung-bsp

Punktspiegelung am Ursprung:

spiegelung-ursprung

Drehungen um die Koordinatenachsen:

drehung-x-ani         drehung-z-ani

 

 

  

  

    Drehung um x2-Achse mit Drehwinkel α:

      drehung-x2-Achse

 

 

 

 

  

Spiegelung an der x1-Achse entspricht der Drehung um die x1-Achse um 180°: spiegelung-x1

Spiegelung an der x2-Achse entspricht der Drehung um die x2-Achse um 180°: spiegelung-x2

Spiegelung an der x3-Achse entspricht der Drehung um die x3-Achse um 180°: spiegelung-x3

Zentrische Streckung:

streckung-ani

  

Abbildung mit Matrix abbildung-spez-A

abbildung-spez

  

  

Gegeben ist das Tetraeder mit den Eckpunkten
A(1| 1| 0), B(3| 1| 0), C(1| 3| 0) und D(1| 1| 2,5).

Bildpunkte:
A‘(0| 2| 0,5), B‘(2| 2| 1,5), C‘(-2| 6| 0,5), D‘(5| 3,25| 5,5).

Berechnung des Bildpunkts D‘ von D:

abbildung-spez-bsp

 

 

 

 

abbildung-spez-det

Der Volumeninhalt des gegebenen Tetraeders wird um den Faktor v = det(A) = 1,75 vergrößert (s. 3 × 3 Determinante).

  

 Parallelverschiebung:

Die Parallelverschiebung entsteht durch Addition eines Vektors vektor-c zu den Vektorkoordinaten der gegebenen Punkte:

vektor-x' = + vektor-c.

parallel-verschiebung

Für die Addition von Matrizen mit Skalarmultiplikation gelten die Gesetze des Vektorraums, siehe Vektorraum.

  

Geometrische Bedeutung der 3 × 3 Determinante

Drei Vektoren, die nicht in einer Ebene liegen, spannen einen Spat (ein Parallelepiped) auf.

Geometrisch entspricht der Absolutbetrag des Werts der Determinante, deren Spalten die Spalten der Vektoren sind, dem Volumeninhalt V des Spats (Parallelepipeds).

Volumen-spat 

  

vektoren-abc

volumen-abc

 

 

Begründung:

Volumeninhalt V des Spats (s. Vektoren im Raum):

V-spat

spatprodukt-begr

Beispiel:

 vektoren-abc-bspvolumen-abc-bsp

Der Volumeninhalt des von den drei Vektoren aufgespannten Spats beträgt 20 Volumeneinheiten.

 

Ist der Wert der Determinante 0, so spannen die drei Vektoren keinen Spat auf. Sie sind parallel zu einer Ebene oder zu einer Geraden. Die Vektoren sind dann linear abhängig.

Bei der linearen Abbildung vektor-x' = A ∙ vektor-x  gibt die det(A) den Faktor v an, um den sich der Volumeninhalt eines Körpers verändert.

Beispiele:

Zentrische Streckung:

A-zS,  det(A) = 8. Der Volumeninhalt des gegebenen Körpers vergrößert sich um den Faktor v = 8.

Drehung um x2-Achse mit Drehwinkel α:

A-Dr,  det(A) = cos(α)2 + sin(α)2 = 1. Der Volumeninhalt des gegebenen Körpers bleibt gleich groß, v = 1.

Bei einer Abbildung mit der Matrix A gilt:

|det(A)|>1: Der Volumeninhalt des gegebenen Körpers wird um den Faktor v = det(A) vergrößert.

0<|det(A)|<1: Der Volumeninhalt des gegebenen Körpers wird um den Faktor v = det(A) verkleinert.

|det(A)|=1: Der Volumeninhalt des gegebenen Körpers bleibt gleich groß.

det(A)=0: Der Volumeninhalt wird bei der Abbildung 0. Das Bild des Körpers wird zu einer Fläche oder einer Strecke.

               Die drei die Matrix A bildenden Vektoren  vektor-a , vektor-b  und vektor-c  sind parallel zu einer Ebene oder einer Geraden, sind linear abhängig.

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