Tonhöhen und Intervalle in der Musik

Intervalle in reiner Stimmung

Unter einem Intervall versteht man in der Musik den Tonhöhenabstand zweier Töne.

Bereits Pythagoras (ca. 570 - 500 v. Chr.)  erkannte, dass wohltönende Intervalle ein ganzzahliges Verhältnis der Saitenlänge eines schwingenden Saitenteils zur ganzen Saitenlänge eines Monochords haben.

Ton               Saitenlängenverhältnis                 Monochord                                Frequenzverhältnis
                 der schwingenden Saite zu c‘                                                                zum Grundton c‘

Grundton c‘                1                         1

Oktave c‘‘                1 : 2                     2 : 1

Quinte g‘                  2 : 3                     3 : 2

Quarte f‘                  3 : 4                      4 : 3

Große Terz e‘           4 : 5                      5 : 4

Eine Seite, die den Ton c‘ erzeugt, schwingt 264-mal pro Sekunde, d.h. der Ton c‘ hat damit eine Frequenz von 264 Hz (Hertz). Die Oktave c‘‘ hat dann die Frequenz 528 Hz.

Bemerkung: Statt c‘, c'', ... wird auch c¹,  c², ... verwendet.                                             

Intervalle bei der Tonleiter in C-Dur und c-Moll in reiner Stimmung mit Grundton c‘

Bei der reinen Stimmung stehen die Intervalle in ganzzahligen Verhältnissen.

 Frequenzen der C-Dur Tonleiter in reiner Stimmung mit Grundton c‘

NR:  9/8⸱264 = 297, 5/4⸱264 = 330, 4/3⸱264 = 352, 3/2⸱264 = 396, 5/3⸱264 = 440, 15/8⸱264 = 495

Als reine Stimmung wird ein musikalisches Tonsystem bezeichnet, bei dem die Dur- und Molldreiklänge nur reine Quinten (mit dem Frequenzverhältnis 3/2) und reine Terzen (mit den Frequenzverhältnissen 5/4 und 6/5) enthalten. 

Die quintenreine (pythagoräische) Stimmung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Stimmung durch reine Quinten gegeben ist. Dies ist z.B. bei Streichinstrumenten der Fall.

Die Geige wird normalerweise auf den Kammerton a‘ = 440 Hz gestimmt. Dann hat das darüberliegende e‘‘ = 660 Hz (Frequenzverhältnis 3/2), das darunterliegende Geigen-d‘ = 293,33.. Hz und das tiefe Geigen-g = 195,55..  Hz.

Bei der C-Dur Tonleiter gilt: e‘‘/a‘ = 660/440 = 1,5, a‘/d‘ = 440/297 ≈ 1,48, d‘/g = 297/198 = 1,5

Bei der Violine ist das Frequenzverhältnis zum jeweils vorhergehenden Ton 3 : 2.

Frequenzen der Violinsaiten mit a' = 440 Hz in quintenreiner Stimmung

NR: e‘‘/a‘ = 660/440 = 1,5, a‘/d‘ = 440/293,333... = 1,5, d‘/g = 293,33.../195,555... = 1,5

Hier zeigt sich ein Widerspruch bei reiner Stimmung vom Grundton c‘ bzw. vom Grundton g ausgehend. Die reine Stimmung kann nicht für alle Tonarten gelten.

Intervalle in mitteltöniger Stimmung

Von ca. 1550 bis 1750 waren bei Tasteninstrumenten mitteltönige Stimmungen üblich. Ihr Charakteristikum sind acht etwa gleich gut und vier schlecht klingende Moll- bzw. Durtonarten. Eine der schlecht klingenden Tonarten beinhaltet eine sehr stark verstimmte Quinte, die sogenannte Wolfsquinte.

Die 1/4-Komma-mitteltönigen Stimmung ist eine verbreitete Form der mitteltönigen Stimmung. Die wichtigsten Intervalle, wie Quinten, sind relativ rein gestimmt, acht große Terzen in den wohlklingenden Tonarten sind auch rein. Der Ganzton entspricht bei dieser Stimmung dem Mittel von großem und kleinem Ganzton der reinen Stimmung (daher der Name).

Intervalle in wohltemperierter und gleichstufiger Stimmung

Als wohltemperierte Stimmung bezeichnet man ein temperiertes Stimmungssystem für Musikinstrumente mit festgelegten Tonhöhen, z.B bei Klavier und Orgel, welche die Verwendung aller Tonarten ermöglicht im Unterschied zur reinen Stimmung. Dabei wird ein Kompromiss zwischen der reiner Stimmung von verschiedenen Grundtönen ausgehend eingegangen.

Frequenzen der C-Dur Tonleiter in einer wohltemperierten Stimmung

Erstmals belegt ist diese Stimmung für die 1668–1673 von Christian Förner (1609 – 1678) erbaute Förner-Orgel. Andreas Werckmeister (1645 – 1706) veröffentlichte 1681 die erste Beschreibung verschiedenen Stimmungen, auch der wohltemperierten Stimmung.
Von Johann Sebastian Bach stammt das Wohltemperierte Klavier. Es sind Stücke von Präludien und Fugen, 1722 und 1740 – 1742 komponiert, in denen alle 12 Dur- und Moll-Tonarten vorkommen.

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Die Tonfrequenz wird bei einem Halbtonschritt um den Faktor 1,059463 erhöht. Nach 12 Halbtonschritten ergibt sich die zugehörige Oktave:

In der Musiktheorie gibt es den Begriff Cent. 100 Cent ist das Frequenzverhältnis eines gleichstufigen Halbtons.

Es gilt: 1 Cent = 2 ^1/1200 ≈ 1,000577789, 100 Cent = 2 ^100/1200 = 2 ^1/12 ≈ 1,059463, 1200 Cent = 2 ^1200/1200 = 2, 0 Cent = 2 ^0/1200 = 2⁰ = 1.

Die 12 Töne von c‘ bis c‘‘ in gleichstufiger Stimmung mit a‘ = 440 Hz

Bei der gleichstufigen Stimmung bleibt die Oktavenreinheit erhalten, während alle anderen Intervalle geringfügig verändert werden.

Die C-Dur Tonleiter in Hz und Cent in gleichstufiger Stimmung

Die Frequenzverhältnisse in Cent werden addiert, während die zugehörigen einfachen Frequenzverhältnisse multipliziert werden.

Cent1 + Cent2 = 2 ^{(Cent1 + Cent2)/1200} = 2 ^Cent1/1200 ⸱ 2 ^Cent2/1200  (1. Potenzgesetz)

Beispiel: 200 + 500 = 700 oder 1,122⸱1,335 = 1,498 (3 D)

Eine gleichstufige Stimmung berechnete 1584 als erster der Chinese Chu-Tsai-yü (1536 – 1610). Der italienische Kapellmeister Gioseffo Zarlino (1517 – 1590) entwickelte 1588 eine geometrische Darstellung der gleichstufigen Stimmung.

 

Der Quintenzirkel

Auf dem äußeren Kreis stehen die Dur-Tonarten, im inneren Kreis die Moll-Tonarten mit der gleichen Anzahl an Vorzeichen. Die Paralleltonarten sind jeweils eine kleine Terz tiefer.
Geht man im Uhrzeigersinn von C aus, so wird zu jeder Tonart in der Reihenfolge ein Kreuz (♯) hinzugefügt. Gegen den Uhrzeigersinn kommt jeweils ein B (b) hinzu.  In seltenen Fällen verwenden Komponisten und Komponistinnen Cis-Dur (7#) statt Des-Dur (5b) oder Ces-Dur (7b) statt H-Dur (5#).

Nach 12 aufeinander folgende Quinten von C-Dur ausgehend entsteht ein 7 Oktaven höheres C-Dur. An der Klaviertastatur kann dies schön veranschaulicht werden.

Das pythagoräische Komma

12 aufeinanderfolgende Quinten und 7 aufeinanderfolgende Oktaven müssten vom gleichen Grundton ausgehend wieder den gleichen Ton ergeben.

Dies ist nicht der Fall, wie folgende Rechnung zeigt:

1,5 ¹² ≈ 129,746;  2⁷ = 128

Die Differenz 129,746 – 128 ≈ 1,746 heißt pythagoräisches Komma.

Dies ist der Grund, weshalb Tasteninstrumente mit 12 Halbtönen pro Oktave nicht in allen Tonarten in reinen Intervallen gespielt werden können. Deshalb wurde die wohltemperierte und gleichstufige Stimmung entwickelt.

Durch die gleichstufige Stimmung wird das Pythagoräische Komma, das zwischen der 12. Quinte und der 7. Oktave über einem Ton besteht, ausgeglichen.