Pascalsches Dreieck

Zeilen-        Pascalsches        Zeilensumme:

nummer:        Dreieck                                        

0                 1                1  = 2⁰

1               1    1             2  = 2¹

2             1   2    1           4  = 2²

3           1   3    3   1         8  = 2³

4         1   4   6    4   1      16  = 2⁴

5       1   5   10   10  5   1    32  = 2⁵

...     |   |   |    |   |   |                                           

                   0-      1-       2-        3-       4-      5-te Spalte in Zeile 5

Zeilen-        Pascalsches       Binomische Formeln:

nummer:        Dreieck                                        

0                 1              (a+b)⁰ = 1

1               1    1           (a+b)¹ = a+b

2             1   2    1         (a+b)² = a²+2ab+b²

3           1   3    3   1       (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

4         1   4   6    4   1     (a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

5       1   5   10   10   5   1  (a+b)⁵ = 1a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+1b⁵

... 

Allgemein gilt:  

Formeln:

n = Zeilennummer, k = Spaltennummer

Beispiel: Die Zahl in der 3.Spalte mit Zeilennummer 5  ist die Summe der Zahlen in der 2. und 3.Spalte in Zeilennummer 4:

                                                              6   +   4   =   10

Symmetrisches Pascalsches Dreieck bis zur Reihe 12:

Zeilennr:

   0                              1

   1                            1   1

   2                          1   2   1

   3                        1   3   3   1

   4                      1   4   6   4   1

   5                    1   5  10  10   5   1

   6                  1   6  15  20  15   6   1

   7                1   7  21  35  35  21   7   1

   8              1   8  28  56  70  56  28   8   1

   9            1   9  36  84 126 126  84  36   9   1

  10          1  10  45 120 210 252 210 120  45  10   1

  11        1  11  55 165 330 462 462 330 165  55  11   1

  12      1  12  66 220 495 792 924 792 495 220  66  12   1

Asymmetrisches Pascalsches Dreieck bis zur Reihe 12:

Zeilennr:

   0      1

   1      1   1

   2      1   2   1

   3      1   3   3   1

   4      1   4   6   4   1

   5      1   5  10  10   5   1

   6      1   6  15  20  15   6   1

   7      1   7  21  35  35  21   7   1

   8      1   8  28  56  70  56  28   8   1

   9      1   9  36  84 126 126  84  36   9   1

  10      1  10  45 120 210 252 210 120  45  10   1

  11      1  11  55 165 330 462 462 330 165  55  11   1

  12      1  12  66 220 495 792 924 792 495 220  66  12   1

Weitere Eigenschaften:

Alle Zahlen in einer Zeile mit einer Primzahl als Zeilennummer sind durch diese teilbar.

In der 1. Spalte des asymmetrischen Dreiecks bzw entsprechenden Diagonalen im symmetrischen Dreieck stehen die natürlichen Zahlen . In der n-ten Zeile steht die Zahl 

In der 2. Spalte des asymmetrischen Dreiecks bzw entsprechenden Diagonalen im symmetrischen Dreieck stehen die Dreieckszahlen . In der n-ten Zeile steht die Zahl 

In der 3. Spalte und n-ten Zeile des asymmetrischen Dreiecks bzw entsprechenden Diagonalen im symmetrischen Dreieck steht die Zahl 

usw.
  

Bei entsprechend schräger Diagonalbildung ergeben sich als Summenglieder die Fibonacci-Zahlenfolge:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...  ( s. goldener Schnitt )   

Pascalsches Dreieck bis zur Reihe 31 als Sierpinski-Dreieck :

* = ungerade Zahl,    Leerzeichen = gerade Zahl

                                           *

                                          * *

                                         *   *

                                        * * * *

                                       *       *

                                      * *     * *

                                     *   *   *   *

                                    * * * * * * * *

                                   *               *

                                  * *             * *

                                 *   *           *   *

                                * * * *         * * * *

                               *       *       *       *

                              * *     * *     * *     * *

                             *   *   *   *   *   *   *   *

                            * * * * * * * * * * * * * * * *

                           *                               *

                          * *                             * *

                         *   *                           *   *

                        * * * *                         * * * *

                       *       *                       *       *

                      * *     * *                     * *     * *

                     *   *   *   *                   *   *   *   *

                    * * * * * * * *                 * * * * * * * *

                   *               *               *               *

                  * *             * *             * *             * *

                 *   *           *   *           *   *           *   *

                * * * *         * * * *         * * * *         * * * *

               *       *       *       *       *       *       *       *

              * *     * *     * *     * *     * *     * *     * *     * *

             *   *   *   *   *   *   *   *   *   *   *   *   *   *   *   *

            * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Internetquellen:

http://www.mathematische-basteleien.de/pascaldreieck.htm

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/pascalmod.htm

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pascal.triangle.html