Ein Vektor ist ein Pfeil mit Anfangs- und Endpunkt.

Liegt der Anfangspunkt im Ursprung, so spricht man von einem Ortsvektor.

Die Menge aller gleichgerichteten und gleich langen Pfeile stellen denselben Vektor dar.
Sie sind Repräsentanten des Vektors.

(Pythagoras im Raum)

Addition von Vektor und Gegenvektor ergibt den Nullvektor:

Summe und Differenz von Vektoren

Vektorsumme und Kommutativgesetz            Vektordifferenz

Assoziativgesetz

S-Multiplikation von Vektoren

  Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl k ∊ ℝ

Geradengleichungen

Punkt-Richtungs-Form                                        2-Punkte-Form

Punkt-Richtungs-Form von g

Vektordarstellung:        

Koordinatendarstellung:   x₁ = a₁ + r∙u₁;  x₂ = a₂ + r∙u₂;  x₃ = a₃ + r∙u₃  (3 Gleichungen)

2-Punkt-Form von g

Vektordarstellung:        

Koordinatendarstellung:   x₁ = a₁ + r∙(b₁ - a₁);  x₂ = a₂ + r∙(b₂ – a₂);  x₃ = a₃ + r∙(b₃ – a₃)  (3 Gleichungen)

Lagebeziehung von Punkt und Gerade, Beispiel:

Gegeben:

P(3|4|0), Q(6|13|–4) und Gerade g durch die Punkte A(1|-2|2) und B(2|1|1).

Liegen die Punkte P und Q auf der Geraden g?

Lösung:

Gerade g: x1 = 1 + r; x2 = –2 + 3r; x3 = 2 – r

P in g: I    3 = 1 + r;  r = 2

          II   4 = –2 + 3r; r = 2

          III  0  = 2 – r;  r = 2

Gleiche Lösungen für r bei den 3 Gleichungen. Daraus folgt: P liegt auf g.

Q in g: I    6 = 1 + r;  r = 5

          II   13 = –2 + 3r; r = 5

          III  –4  = 2 – r;  r = 6

Keine gleichen Lösungen für r bei den 3 Gleichungen. Daraus folgt: Q liegt nicht auf g.

Mittelpunkt einer Strecke

Für den Mittelpunkt M der Strecke AB gilt:

(Mittelpunkt eines Parallelogramms)

Für A(1| 4| 2) und B(3| 2| 1) gilt: M(2| 3| 1,5).

Teilverhältnis

Der Punkt T teile die Strecke AB im Verhältnis τ = p : q.

mit r = p / (p + q)

1/r = 1 + 1/ τ

r = τ / (τ + 1) oder τ = r / (1 – r)

Beispiel:

A(3|2|4), B(5|-4|3). Welcher Teilpunkt T teilt die Strecke AB im Verhältnis 2 : 3?

r = 2/3 / (1+2/3) = 2/5 = 0,4.

t₁ = 3 + 0,4∙(5 – 3) = 3,8;  t₂ = 2 + 0,4∙(–4 – 2) = –0,4;  t₃ = 4 + 0,4∙(3 – 4) = 3,6.

Teilpunkt T(3,8| –0,4| 3,6).

Darstellung von Geraden durch ihre Spurpunkte, das sind ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen.

Beispiel: Gerade g durch die Punkte A(3| 2|-1)und B(-3| 3| 5).

Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen:

x₁x₂-Ebene, x₃ = 0. Daraus folgt:

III  0 = –1 + 6 μ;  μ = 1/6

in I  x₁ = 2, in II  x₂ ≈ 2,17,

Spurpunkt S₁₂(2| 2,17| 0).

x₂x₃-Ebene, x₁ = 0. Daraus folgt:

I  0 = 3 – 6 μ;  μ = ½

in II  x₂ = 2,5, in III  x₃ = 2,

Spurpunkt S₂₃(0| 2,5| 2).

x₁x₃-Ebene, x₂ = 0. Daraus folgt:

II 0 = 2 + μ; μ = –2

in I  x₁ = 15, in III x₃ = 11,

Spurpunkt S₁₃(15| 0| 11).

Gegenseitige Lage von zwei Geraden g und h

1. Fall: g und h schneiden sich und haben genau einen Schnittpunkt S.

2. Fall: g und h sind zueinander echt parallel und haben keinen Punkt gemeinsam.

3. Fall: g und h fallen zusammen. Sie haben unendlich viele Punkte gemeinsam.

4. Fall: g und h sind windschief und haben keinen Punkt gemeinsam.

Beispiele:

1. Fall: g und h schneiden sich.

g = h, daraus folgt:

I      4 + r  = 1 + 2t

II     7 – r  = –2 + 4t

III  –1 + 2r = –3 + 2t

I+II    11  = –1 + 6t

              t = 2;  in I eingesetzt5:    r = 1

in III  –1 + 2 = –3 + 4, wahre Aussage, damit schneiden sich g und h im Punkt S(5 | 6 | 1).

2. Fall: g und h sind zueinander echt parallel.

g || h, da die Richtungsvektoren parallel sind:   

Liegt A ∊ g auf h?

I      0 = –5 – 4t;   t = –5/4

II     0 = 3 + 3t;   t = –1

III    5 = 11 + 2t;  t = –3

Widerspruch, daraus folgt: g und h sind echt parallel.

3. Fall: g und h fallen zusammen.

g = h, daraus folgt:

I      8 + 2r  = 6 + 4t

II     5 +  r  =  4 + 2t

III  –3 – r  = –2 – 2t

II+III   2  =  2, wahre Aussage

I+2∙III  2 = 2, wahre Aussage,

daraus folgt, dass g und h zusammenfallen

NB: Die 3 Gleichungen I, II, III sind äquivalent zu 2 + 2r = 4t oder 1 + r = 2t.

4. Fall: g und h sind windschief.

g ist nicht parallel zu h, da

g = h, daraus folgt:

I       3       =  1 + 2t;  t = 1

II     0 +  r  = –3;       r = –3

III    5 +  r  =  6 – t

t und r in III: 5 –3 = 6 –1, Widerspruch, daraus folgt, dass g und h windschief sind.

Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln

Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren:

Für  gilt: cos(φ) = 0. Daraus folgt: φ = 90°.

Begründung für die Gleichwertigkeit der beiden Formeln des Skalarprodukts:

Ansatz: Cosinussatz

Bestimmung des Schnittwinkels zweier sich schneidender Geraden

Dazu genügt es den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren der Geraden zu berechnen.

Für das Skalarprodukt gelten folgende Gesetze:

Vektorprodukt

Begründung für die Gleichwertigkeit der beiden Formeln des Vektorprodukts:

 ∙ = a ∙ b ∙ cos(φ);  cos(φ) = (  ∙ )/(a ∙ b)  (Skalarprodukt)

= (a₂b₃ – a₃b₂)² + (a₃b₁ – a₁b₃)² + (a₁b₂ – a₂b₁)² =

= (a₂b₃)² + (a₃b₂)² + (a₃b₁)² + (a₁b₃)² + (a₁b₂)² + (a₂b₁)² – 2a₂a₃b₂b₃ – 2a₁a₃b₁b₃ – 2a₁a₂b₁b₂

r.S.² = (a₁² + a₂² + a₃²) (b₁² + b₂² + b₃²) sin²(φ) =

= (a₁² + a₂² + a₃²) (b₁² + b₂² + b₃²)(1 – cos²(φ)) =

= (a₁² + a₂² + a₃²) (b₁² + b₂² + b₃²) – (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)² =

= (a₂b₃)² + (a₃b₂)² + (a₃b₁)² + (a₁b₃)² + (a₁b₂)² + (a₂b₁)² – 2a₂a₃b₂b₃ – 2a₁a₃b₁b₃ – 2a₁a₂b₁b₂

Daraus folgt:

l.S. ² = r.S.² und damit l.S. = r.S.  

Spatprodukt – Volumeninhalt des Spats

  Volumeninhalt des Spats:

  V = A ∙ h

Der Flächeninhalt A des von den Vektoren und ( ≠ k∙ )  aufgespannten Parallelogramms beträgt:

(Betrag des Vektorprodukts)

steht senkrecht auf und und ist deshalb ein Normalenvektor von und .

Die Höhe h des Spats ist parallel zu .

(Skalarprodukt)

cos(γ ) = h/c; h = c ∙ cos(γ )

Daraus folgt für den Volumeninhalt V des Spats:

(Absolutbetrag, da V>0)

Beispiel:

Berechne den Volumeninhalt einer Pyramide, die von folgenden Vektoren aufgespannt wird:

Ebenengleichungen

in Parameterform                                           in 3-Punkte-Form

Normalenform der Ebenengleichung 

Vektordarstellung,                                        Koordinatendarstellung der Ebene E:

n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ + n₀ = 0    mit

n₀ = – (n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃)

Das Vektorprodukt zweier nicht paralleler Richtungsvektoren der Ebene liefert einen Normalenvektor der Ebene.

Gegenseitige Lage von Gerade g und Ebene E

E und g schneiden sich im Punkt S.          E und g sind echt parallel.                   g liegt in der Ebene E.

Je nach der gegebenen Form der Geraden- und Ebenengleichung gibt es zahlreiche Möglichkeiten der Berechnung.

1. Beispiel:

2r – 2 + 2 (r + 1) + 2 (2r + 4) = 0

8r = 8

r = –1

Daraus folgt mit r = –1 in g eingesetzt: g und E schneiden sich im Punkt S(–1|–1| 1).

2. Beispiel:

g in E eingesetzt liefert 3 Gleichungen:

I       2 + 2r = 1 + 2p + q

II              r = 1 +  p

III      3 – r  = 2 + 3q

I-2∙II       0 = –1 + q;  q = 1

in III   3 – r = 2 + 3;  r = –2

in II         –2 = 1 + p; p = –3

Daraus folgt mit r = –2 in g eingesetzt: g und E schneiden sich im Punkt S(–3|–2| 5).

3. Beispiel:

g in E einsetzten:

2 (1 + 2r) – (2 + r) + 3 (1 – r) – 3 = 0

2 + 4r – 2 – r + 3 – 3r – 3 = 0

0 = 0, wahre Aussage für alle r, daraus folgt: g liegt in der Ebene E.

Bestimmung des Schnittwinkels zwischen Gerade und Ebene

Der Schnittwinkel α zwischen der Geraden g mit dem Richtungsvektor u und der Ebene E mit dem Normalenvektor n ist der spitze Winkel des Dreiecks SFP.

Man berechnet zunächst den Winkel β zwischen n und u.

α = 90° – β.  

Abstandsbestimmungen

Abstand eines Punktes von einer Geraden, Beispiel:

Gegeben:

Gerade g:

(1) x₁ = 6 + r; x₂ = 2 – 2r; x₃ = 1 – r; A(6|2|1)

P(3|2|1)

Gesucht:

Länge der Strecke PF.

Berechnung:

F liegt auf der Geraden g:

(1) in (2)  6 + r – 4 + 4r – 1 + r + 2 = 0

              6r = –3; r = –1/2

Koordinaten des Punktes F: F(1,5| 2| 1,5)

Abstand des Punktes P von der Geraden g:

|PF| = √((1,5-3)² + (2-2)² + (1,5-1)²) = √10/2 ≈ 1,58

Abstand eines Punktes von einer Ebene, Beispiel:

Gegeben:

Gerade g:

(1) x₁ = 6 + r; x₂ = 2 – 2r; x₃ = 1 – r; A(6|2|1)

P(3|2|1), h ist senkrecht zu E

Gesucht:

Länge der Strecke PF.

Berechnung:

(2) x₁ = 2 + r;  x₂ = –1 + 2r;  x₃ = 3 – 2r

F ist der Schnittpunkt von h und E, h ∩ E = {F}:

(2) in (1)  2 + r –2 + 4r – 6 + 4r – 3 = 0

              9r = 9;  r = 1

Koordinaten des Punktes F: F(3| 1| 1)

Abstand des Punktes P von der Ebene E:

|PF| = √(3-2)² + (1+1)² + (1-3)²) = 3

Gegenseitige Lage von zwei Ebenen

E₁ und E₂ schneiden sich in einer Geraden g.  E₁ und E₂ sind echt parallel.            E₁ und E₂ sind identisch.

Ebenen können in verschiedenen Formen gegeben sein. Entsprechend gibt es verschiedene Methoden, um die gegenseitige Lage der Ebenen zu bestimmen.

1. Beispiel:

E₁:  2x₁ – 3x₂ + 4x₃ – 6 = 0

E₂:  2x₁ + 2x₂ – 3x₃ – 4 = 0

Dies sind zwei Gleichungen mit drei Unbekannten (Variablen). Man kann eine Variable frei wählen, z.B. x₃ = r. Dann folgt:

I      2x₁ – 3x₂ + 4r – 6 = 0

II     2x₁ + 2x₂ – 3r – 4 = 0

II–I           5x₂ – 7r + 2 = 0

                                x₂ = 0,4 + 1,4r

in II  2x₁ + 2 (0,4 + 1,4r) – 3r – 4 = 0

         2x₁ + 0,8 + 2,8r – 3r – 4 = 0

                                x₁ = 1,6 + 0,1r 

Jeder Punkt X der Schnittgeraden hat die Koordinaten (1,6 + 0,1r | 0,4 + 1,4r | r).

Gleichung der Schnittgeraden g: 

2. Beispiel:

  E₁:    4x₁ – 6x₂ – 2x₃ – 3 = 0

Die Normalenvektoren von E₁ und E₂ sind:

Die Normalenvektoren sind vielfache voneinander und somit parallel. Daraus folgt, dass die Ebenen E₁ und E₂ parallel sind.

Liegt der Punkt A(1| 1| 2) von E₂ auf der Ebene E₁?

Einsetzen von A in E₁: 

4 – 6 – 2∙2 – 3 = 0, falsche Aussage, daraus folgt: Die beiden Ebenen sind echt parallel.

3. Beispiel:

E₁:  I     2x₁ – x₂ + 3x₃ – 2 = 0

E₂:  II – 4x₁ + 2x₂ – 6x₃ + 4 = 0

2∙I+II                             0 = 0, wahre Aussage. (–2)∙I = II.

Daraus folgt, dass die beiden Ebenen identisch sind.

Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen

Der Schnittwinkel berechnet sich als Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren der beiden Ebenen.

Darstellung von Ebenen durch ihre Spurdreiecke

Gegeben sind die Ebenen

E₁: 3x₁ + 6 x₂ + 3 x₃ – 12 = 0  

E₂: 4x₁ + 3 x₂ + 4 x₃ – 12 = 0  

E₃: 1,2 x₁ + 1,2 x₂ + 3 x₃ – 6 = 0

Besonders gut lassen sich die Ebenen durch die Spurdreiecke darstellen, die sie mit den Koordinatenebenen bilden.

Dazu berechnet man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Berechnung der Schnittpunkte der Ebenen mit den Koordinatenachsen:

Schnittpunkte der Ebene E₁ mit den Koordinatenachsen:

x₁-Achse: x₂ = 0 und x₃ = 0, daraus folgt: 3x₁ – 12 = 0; x₁ = 4

x₂-Achse: x₁ = 0 und x₃ = 0, daraus folgt: 6x₂ – 12 = 0; x₂ = 2

x₃-Achse: x₁ = 0 und x₂ = 0, daraus folgt: 3x₃ – 12 = 0; x₃ = 4

Schnittpunkte der Ebene E₂ mit den Koordinatenachsen:

x₁-Achse: x₁ = 3; x₂-Achse: x₂ = 4; x₃-Achse: x₃ = 3

Schnittpunkte der Ebene E₃ mit den Koordinatenachsen:

x₁-Achse: x₁ = 5; x₂-Achse: x₂ = 5; x₃-Achse: x₃ = 2.

Durch die Schnittpunkte der Ebenen mit den Koordinatenachsen gehen die Spurgeraden der Ebenen.

Berechnung der Schnittgeraden und des Schnittpunkts der Ebenen.

Berechnung der Schnittgeraden je zweier Ebenen:

E₁ ∩ E₂ = s₁₂

I   3 x₁ + 6 x₂ + 3 x₃ – 12 = 0 

II  4 x₁ + 3 x₂ + 4 x₃ – 12 = 0  

2∙II–I  5x₁ + 5x₃ – 12 = 0; x₁ = – x₃ + 2,4

Eine Variable ist beliebig z.B. x₃ = p, dann gilt x₁ = 2,4 – p,
eingesetzt in II  4(2,4 – p) + 3 x₂ + 4p – 12 = 0; x₂ = 0,8.

Daraus folgt für s₁₂ in Koordinatenschreibweise:

s₁₂: x₁ = 2,4 – p; x₂ = 0,8; x₃ = p

E₁ ∩ E₃ = s₁₃

I      3 x₁ + 6 x₂ + 3 x₃ – 12 = 0 

III 1,2 x₁ + 1,2 x₂ + 3 x₃ – 6 = 0

5∙III–I  3 x₁ + 12 x₃ – 18 = 0

Eine Variable ist beliebig z.B. x₃ = q, dann gilt: 3 x₁ + 12 q – 18 = 0; x₁ = 6 – 4 q,

in I  3 (6 – 4 q) + 6 x₂ + 3 q – 12 = 0; x₂ = – 1 + 1,5 q.

Daraus folgt für s₁₃ in Koordinatendarstellung:

s₁₃: x₁ = 6 – 4 q; x₂ = – 1 + 1,5 q; x₃ = q.

E₂ ∩ E₃ = s₂₃

II     4x₁ + 3 x₂ + 4 x₃ – 12 = 0  

III 1,2 x₁ + 1,2 x₂ + 3 x₃ – 6 = 0

5∙III–2∙II   –2x₁ + 7 x₃ – 6 = 0

Eine Variable ist beliebig z.B. x₃ = r, dann gilt: –2x₁ + 7 r – 6 = 0; x₁ = – 3 + 3,5 r,
in II  4 (– 3 + 3,5 r) + 3 x₂ + 4 r – 12 = 0;  x₂ = 8 – 6 r.

Daraus folgt für s₂₃ in Koordinatenschreibweise:

s₂₃:  x₁ = – 3 + 3,5 r; x₂ = 8 – 6 r; x₃ = r.

Der Schnittpunkt zweier Schnittgeraden ist der Schnittpunkt S der drei Ebenen

s₁₂ ∩ s₂₃ = {S}

s₁₂:  x₁ = 2,4 – p; x₂ = 0,8; x₃ = p

s₂₃:  x₁ = – 3 + 3,5 r; x₂ = 8 – 6 r; x₃ = r.

Gleichsetzen: 

(1)  2,4 – p = – 3 + 3,5 r

(2)       0,8  =  8 – 6 r;  r = 1,2

(3)         p = r;           p = 1,2

in (1)  2,4 – 1,2 = – 3 + 3,5∙1,2

                 1,2 = 1,2, wahre Aussage, daraus folgt:

Die Schnittgeraden und die Ebenen schneiden sich im Punkt S(1,2| 0,8| 1,2).

Kontrolle:

s₁₂ ∩ s₁₃ = {S}

s₁₂:  x₁ = 2,4 – p; x₂ = 0,8; x₃ = p

s₁₃:  x₁ = 6 – 4 q; x₂ = – 1 + 1,5 q; x₃ = q.

Gleichsetzen:

(1)  2,4 – p = 6 – 4 q  

(2)       0,8  = – 1 + 1,5 q; q = 1,2

(3)         p = q;              p = 1,2

in (1)   1,2 = 1,2 wahre Aussage, daraus folgt wie vorher: Schnittpunkt S(1,2| 0,8| 1,2).

Berechnung des Schnittpunkts S(x|y|z) als gemeinsamer Punkt der drei Ebenen:

S(x|y|z) muss die drei Ebenengleichungen erfüllen. Daraus folgt:

I    3x + 6y + 3z – 12 = 0 

II   4x + 3y + 4z – 12 = 0 

III 1,2x + 1,2y + 3z – 6 = 0

Lösen des Gleichungssystems mit 3 Lösungsvariablen:

2∙II–I  5x + 5z – 12 = 0; z = – x + 2,4   IV

1,2∙II–3∙III  4,8x – 3,6x + 4,8z – 9z – 14,4  + 18 = 0

                1,2x – 4,2z + 3,6 = 0  V     

IV in V      1,2x – 4,2∙(– x + 2,4) = – 3,6

                5,4x – 10,08 = –3,6

5,4x = 6,48;  x = 1,2

in IV  z = 1,2

in II 4,8 + 3y + 4,8 – 12 = 0; y = 0,8

Schnittpunkt S(1,2| 0,8| 1,2).

Kugelgleichung

Lagebeziehung von Kugel und Gerade

Gerade schneidet die Kugel (Sekante), Beispiel:

Gegeben:

Kugel k: (x₁ – 2)² + (x₂ – 2)² + (x₃ – 2)² = 1

Gerade g: x₁ = –2+3r; x₂ = 1+r; x₃ = 2r

Berechnung der Schnittpunkte, g in k:

(-2+3r–2)² + (1+r–2)² +(2r–2)² = 1 

14r² – 34r + 20 = 0

r_1/2 = (34 ± √(1156-1120)) / 28

r₁ = 1 und r₂ = 10/7

Daraus folgt: S₁(1| 2| 2) und S₂(2,29| 2,43| 2,86)

Geraden berühren die Kugel (Tangente), Beispiel:

Es gibt unendlich viele Geraden, die Tangente an die Kugel im Berührpunkt B sind.

Bedingung für den Richtungsvektor der Geraden:

Tangenten von einem Punkt A an eine Kugel

kr ist der Schnittkreis der Kugel k_M mit der Kugel k_N, wobei N der Mittelpunkt der Strecke AM ist.

Für jeden Berührpunkt B der Tangente durch A gilt für den Richtungsvektor:

Gerade schneidet die Kugel nicht (Passante)

Gegeben:

Kreis k mit M(2|3|1) und Radius r = 2.

Gerade g durch Punkt A(4|1|5) und Richtungsvektor

Berechnung des Abstands der Geraden vom Mittelpunkt der Kugel:

P(p₁|p₂|p₃) ∊ g: Daraus folgt:

(1)  p₁ = 4 – 2r; p₂ = 1 + 2r; p₃ = 5 + r

(1) in (2)  –8 + 4r + 2 + 4r – 6 + 5 + r – 1 = 0

                9r – 8 = 0;  r = 8/9

Daraus folgt: P hat die Koordinaten p₁ = 20/9; p₂ = 25/9; p₃ = 53/9

Abstand der Geraden von M: |MP| = √((2/9)² + (-2/9)² + (44/9)²) ≈ 4,9

Der Abstand der Geraden von M ist größer als der Radius der Kugel.

Deshalb schneidet die Gerade die Kugel nicht und ist eine Passante.

Lagebeziehung von Kugel und Ebene

Gegeben:

Kugel k: (x₁ – 2)² + (x₂ – 2)² + (x₃ – 2)² = 4

Kugel mit Mittelpunkt M(2|2|2) und Radius r = 2.

Ebene E: x₁ + 2x₂ – x₃ = 1.

Der Normalenvektor der Ebene hat die Koordinaten n₁ = 1; n₂ = 2; n₃ = –1.

Der Schnittpunkt der Geraden durch M mit   als Richtungsvektor schneide die Ebene im Punkt F.

Bestimmung der Lagebeziehung zwischen Ebene und Kugel:

Gerade g durch M senkrecht zur Ebene E:

Gerade g: x₁ = 2 + r; x₂ = 2 + 2r; x₃ = 2 – r

Gerade g mit Ebene E schneiden, g in E:

2 + r + 4 + 4r – 2 + r= 1

6r = –3; r = –0,5

Daraus folgt für den Schnittpunkt F von g und E: F(1,5| 3| 2,5).

Für die Länge der Strecke MF gilt: |MF| = √(1,5-2)² + (3-2)² + 2,5-2)²) ≈ 1,22.

Der Abstand der Ebene vom Mittelpunkt der Kugel ist kleiner als der Radius der Kugel.

Daraus folgt: Die Ebene schneidet die Kugel.

Berechnung des Radius des Schnittkreises von Kugel und Ebene:

d = |FM| = √(2-1,5)² + (2-3)² + (2-2,5)²) = √1,5

r = 2

ρ = √(r² – d²)    (Pythagoras)

ρ = √(4 – 1,5) = √2,5 ≈ 1,58

Ergebnis:

Der Schnittkreis liegt in der Ebene E: x₁ + 2x₂ – x₃ = 1 mit dem Radius ρ ≈ 1,58 und dem Mittelpunkt F(1,5| 3| 2,5).

Allgemein gilt:

Für |MF| < r gilt: Die Ebene E schneidet die Kugel k in einem Kreis.

Für |MF| = r gilt: Die Ebene E berührt die Kugel k und ist Tangentialebene.

Für |MF| > r gilt: Die Ebene E und die Kugel k haben keine gemeinsamen Punkte.

Schnittkreis von 2 Kugeln

Gegeben sind die Kugeln mit den Gleichungen

k₁:  (x₁ - 3)² + (x₂ - 2)² + x₃² = 4, M₁(3|2|0)

k₂:   x₁² + (x₂ - 1)² + (x₃ - 2)² = 9, M₂(0|1|2).

Berechnung des Schnittkreises der Kugeln k₁ und k₂

Berechnung der Schnittebene E₁₂:

k₁:  I  x₁² – 6 x₁ + 9 + x₂² – 4 x₂ + 4 + x₃² = 4

k₂:  II     x₁² + x₂² – 2 x₂ + 1 + x₃² – 4 x₃ + 4 = 9

II – I     6 x₁ – 9 – 2 x₂ + 1 + 4 x₂  – 4 – 4 x₃ + 4 = 5

E₁₂:           6 x₁ + 2 x₂ – 4 x₃ = 13

Der Schnittpunkt der Geraden h durch M₁ und M₂ mit der Schnittebene E₁₂ liefert den Mittelpunkt M₁₂ des Schnittkreises der beiden Kugeln:

h:  x₁ = 3 – 3 μ; x₂ = 2 – μ; x₃ = 2 μ

h in E₁₂: 6 (3 – 3 μ) + 2 (2 – μ) – 4 ∙2 μ = 13

                18 – 18 μ + 4 – 2 μ – 8 μ = 13

                                              – 28 μ = – 9
                                                      μ = 9/28 ≈ 0,321  

Mittelpunkt M₁₂ des Schnittkreises: M₁₂(2,04| 1,68| 0,64)

Berechnung des Radius r₁₂ des Schnittkreises:

r₁₂ = √(r₁² – d²)  (Pythagoras)

d = |M₁M₁₂|

d = √((2,04 – 3)² + (1,68 – 2)² + 0,64²)

d ≈ 1,197

Daraus folgt:

r₁₂ = √(2² – 1,197²) 

r₁₂ ≈ 1,60

Ergebnis:

Der Schnittkreis liegt in der Ebene E₁₂: 6 x₁ + 2 x₂ – 4 x₃ = 13 und hat den Mittelpunkt M₁₂(2,04| 1,68| 0,64) und den Radius r₁₂ ≈ 1,60.

Schnittpunkte von 3 Kugeln

Gegeben sind folgende drei Kugeln:

k₁:  (x₁ - 3)² + (x₂ - 2)² + x₃² = 4,         M₁(3|2|0)

k₂:   x₁² + (x₂ - 1)² + (x₃ - 2)² = 9,        M₂(0|1|2)

k₃:  (x₁ - 2)² + (x₂ + 1)² + (x₃ - 1)² = 4, M₃(2|-1|1)

Berechnung der Schnittpunkte S(x|y|z) der drei Kugeln:

S(x|y|z) muss die drei Kugelgleichungen erfüllen.

Daraus folgt:

I   x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4 + z² = 4

II  x² + y² – 2y + 1 + z² – 4z + 4 = 9

III x² – 4x + 4 + y² + 2y + 1 + z² – 2z + 1 = 4

II–1     6x + 2y – 4z = 13     IV

III–I     2x + 6y – 2z = 7      V

III–II   –4x + 4y + 2z  = -6   VI

2∙V–IV  -2x  + 10y = 1; y = 0,2x + 0,1

VI+V   -2x + 10y = 1;  y = 0,2x + 0,1

in V      2x + 1,2x + 0,6 – 2z = 7

            2z = 3,2x – 6,4; z = 1,6x – 3,2

Der Schnittpunkt muss auf einer Kugel liegen, z.B auf k₁: 

(x - 3)² + (0,2x + 0,1 – 2)² + (1,6x – 3,2)² = 4

 x² – 6x + 9 + 0,04 x² – 0,76x + 3,61 + 2,56x² –10,24x + 10,24 = 4

3,6·x²  – 17·x + 18,85 = 0 (Lösung mit Lösungsformel)

x₁₂ = (17  ± √(17² – 4∙3,6∙18,85)) / (2∙3,6) 

x₁ ≈ 1,78; x₂ ≈ 2,94. Daraus folgt für y und z:

y₁ ≈ 0,46; y₂ ≈ 0,69 und z₁ ≈ –0,35; z₂ ≈ 1,51.

Schnittpunkte der drei Kugeln, die gleichzeitig die Schnittpunkte der drei Schnittkreise sind: S₁(1,78| 0,46| –0,35) und S₁(2,94| 0,69| 1,51).