Ein Vektor ist ein Pfeil mit Anfangs- und Endpunkt.

Liegt der Anfangspunkt im Ursprung, so spricht man von einem Ortsvektor.

Die Menge aller gleichgerichteten und gleich langen Pfeile stellen denselben Vektor dar.

Sie sind Repräsentanten des Vektors.

Länge des Vektors (Pythagoras)

Gegenvektor zu

Addition von Vektor und Gegenvektor ergibt den Nullvektor:

Summe und Differenz von Vektoren

Vektorsumme und Kommutativgesetz,                   Vektordifferenz

Assoziativgesetz

S-Multiplikation von Vektoren

Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.

Geradengleichungen

Punkt-Richtungs-Form                               2-Punkte-Form

Mittelpunkt einer Strecke

Für den Mittelpunkt M der Strecke AB gilt:

Für A(1| 3) und B(5| 2) gilt: M(3| 2,5).

(Mittelpunkt eines Parallelogramms)

Teilverhältnis

Der Punkt T teile die Strecke AB im Verhältnis τ = p : q.

mit r = p : (p + q)

1/r = 1 + 1/ τ

r = τ / (τ + 1) oder τ = r / (1 – r)

Beispiel:

A(2|4), B(8|1) und T(4|3).

T liegt auf der Geraden g(A;B): 

I   4 = 2 + r ∙ 6;    r = 1/3

II  3 = 4 + r ∙ (–3); r = 1/3

Daraus folgt: T liegt auf der Strecke AB und teilt die Strecke im Verhältnis:  τ = 1 : 2  

Lagebeziehungen von Geraden

d.h. wenn für ihre Richtungsvektoren gilt: .

Beispiel:

Gegeben sind die Geraden

Berechnung des Schnittpunkts S,  g ∩ h = {S}:

Daraus folgen 2 Gleichungen:

I             2 + 2r = –2 + 3t

II            3 +  r  =  5 – t    

2∙II – I    6 – 2 = 10 + 2 – 5t

              5t = 8; t = 1,6

Daraus folgt:  

Der Schnittpunkt der beiden Geraden g und h ist S(2,8| 3,4).

d.h. wenn für ihre Richtungsvektoren gilt: .

 

Liegt der Punkt B ∊ h nicht auf der Geraden g, so sind die beiden Geraden g und h echt parallel. Liegt B auf g, so sind beide Geraden identisch.

Beispiel:

Gegeben sind die zwei Geraden g und h

,

B(-1| 3) und C(8| 6).

Daraus folgt: h ist parallel zu g.

B in g einsetzen. Daraus folgen die 2 Gleichungen:

I       –1 = 2 + 2r;  r = –3/2

II       3  =  3 + r;   r = 0   

Widerspruch, daraus folgt: B liegt nicht auf g.

C in g einsetzen. Daraus folgen die 2 Gleichungen:

I        8 = 2 + 2r;  r = 3

II       6  =  3 + r;  r = 3

Übereinstimmung, daraus folgt: C liegt auf g.

Skalarprodukt zweier Vektoren

Berechnung der Winkel zwischen den Vektorenund:   

a₁∙b₁ + a₂∙b₂ = 4∙1 + 1∙3 = 7

a = √(16 + 1) = √17;  b = √(1 + 9) = √10

a∙b∙cos(φ) = a₁∙b₁ + a₂∙b₂     

Daraus folgt:

√170∙ cos(φ) = 7;  φ = arccos(7/√170)

φ ≈ 57,529°   

Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Geraden

Gegeben:

Gerade g:

(1) x₁ = 6 + r; x₂ = 2 – 2r;  A(6|2)

P(3|2)

Gesucht:

Länge der Strecke PF.

(1) in (2)  6 + r – 4 + 4r + 1 = 0

              5r = –3; r = –0,6

Koordinaten des Punktes F: F(5,4| 3,2)

Abstand des Punktes P von der Geraden g:

|PF| = √((5,4 – 3)² + (3,2 – 2)²) ≈ 2,68

Kreisgleichung

Lagebeziehung von Kreis und Gerade

Gerade (Sekante) schneidet den Kreis, Beispiel:

  Gegeben:

  Kreis k:  (x₁ – 3)² + (x₂ – 2)² = 8

  Geradengleichung g: x₁ = –1 + 3p  und  x₂ = 2 + p  

Berechnung der Schnittpunkte:

I    (x₁ – 3)² + (x₂ – 2)² = 8           Kreisgleichung

II   x₁ = –1 + 3p  und  x₂ = 2 + p   Geradengleichung

II in I  (–1 + 3p – 3) ² + (2 + p – 2)² = 8

            9p² – 24p +16 + p² = 8

                 10p² – 24p + 8 = 0

                              p_1/2 = (24 ± √(576–320)) / 20

                              p_1/2 = (24 ± 16) / 20                   

                                  p₁  = 0,4 und p₂  = 2

p₁ = 0,4 in II  x₁ = 0,2; x₂ = 2,4, Schnittpunkt S₁(0,2| 2,4)

p₂ = 2 in II     x₁ = 5; x₂ = 4,    Schnittpunkt S₂(5| 4)

Geraden (Tangenten) berühren den Kreis, Beispiel:

  Gegeben:

  Kreis k:  (x₁ + 1)² + (x₂ – 3)² = 5.

  Tangenten t₁ und t₂ an k durch den Punkt A(4| 3).

Bestimmung des Thaleskreises h über N mit Radius |AN|:

Thaleskreis h:  (x₁ – 1,5)² + (x₂ – 3)² = 6,25      NR: |MN|² = 2,5² = 6,25

Berechnung der Berührpunkte:

I    (x₁ + 1)² + (x₂ – 3)² = 5

II  (x₁ – 1,5)² + (x₂ – 3)² = 6,25

I-II  I   (x₁ + 1)² – (x₁ – 1,5)² = 5 – 6,25

             x₁² + 2 x₁ + 1 – x₁² + 3 x₁ – 2,25 = – 1,25

             5 x₁ = 0; x₁ = 0

in I   1 + x₂² – 6 x₂ + 9 = 5

              x₂² – 6 x₂ + 5 = 0

              x_{2_1/2} = (6 ± √(36–20)) / 2

              x_{2_1/2} = (6 ± 4) / 2

               x_{2_1}  = 1  und  x_{2_2}  = 5  

Die Tangenten berühren den Kreis k in den Punkten B₁(0| 1) und B₂(0| 5). 

Tangentengleichungen:

Gerade berührt den Kreis im Punkt B, Beispiel:

Gegeben:

Kreis k: 

 (x₁ – 1)² + (x₂ – 3)² = 5. M(1| 3), r = √5.

Berührpunkt B(–1| 4)

Berechnung:

Gerade schneidet den Kreis nicht (Passante), Beispiel:

Gegeben:

Kreis k: 

I   (x₁ – 3)² + (x₂ – 2)² = 5.

Gerade g:

II   x₁ = –1 + 4p  und  x₂ = 4 + p 

Berechnung:

II in I

(–1 + 4p – 3)² + (4 + p – 2)² = 5

16p² – 32p + 16 + p² + 4p + 4 = 5

17p² – 28p + 15 = 0

p_1/2 = (30 ± √(784 – 1020)) / 2, keine Lösung, da die Zahl unter der Wurzel negativ ist.

Daraus folgt: Die Gerade und der Kreis haben keine Schnittpunkte.