Regelmäßige Vielecke
Regelmäßige n-Ecke von n = 3 bis
8: Links mit Bestimmungsdreieck, rechts mit Diagonalen und Symmetrieachsen
Eigenschaften eines regelmäßigen
n-Ecks:
Spezielle Eigenschaften von regelmäßigen n-Ecken:
n = 6: k1 = 3; k2 = 1 n = 8: k1 = 21; k2 = 12
Es
gilt:
Erklärung zur 2. Spalte in der Tabelle: Mit Abzählen und geschickter Summation: Vom 1. Eckpunkt gehen n-1, vom 2. Eckpunkt n-2 Verbindungslinien und vom letzten Eckpunkt 1 Verbindungslinie aus. Eine geschickte Summierung aller Verbindungslinien (1. + letzter, 2. + vorletzter usw.) liefert [(n-1)+1] + [(n-2)+2] + ..., das sind (n-1)/2 Summanden n.
Mit
Kombinatorik: Da
jeweils 2 von n Punkten verbunden werden, gibt es
Erklärung zur 4. Spalte in der Tabelle:
Falls
es keine Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen gibt liefern jeweils die
Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Punkten des n-Ecks einen
Diagonalschnittpunkt. Nach den Regeln der Kombinatorik gibt es dann insgesamt
Erklärungen zur 6. Spalte in der Tabelle: 1. Fall:
Ein Dreieck entsteht im n-Eck durch die
Verbindungsstrecken dreier verschiedener Eckpunkte. Es gibt dafür
2. Fall: Durch die
Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere
3. Fall:
Durch die
Verbindungsstrecken von fünf verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere
4. Fall: Schließlich erhält man durch die
Verbindungsstrecken von sechs verschiedenen Eckpunkten noch
zusätzlich
Typischer Unterschied im Verlauf der Diagonalen bei einem geradzahligen und ungeradzahligen regelmäßigen n-Eck:
Ist die Eckenzahl gerade, so verlaufen die Diagonalen durch den Mittelpunkt.
Bei ungerader Eckenzahl ist die Mitte leer und die Diagonalen bilden innen
ein verkleinertes n-Eck.
Konzentrische 16-Ecke und ein 8-Eck mit Diagonalen
Fensterrosetten in
Kathedralen
Reguläre Vielecke als Grundstruktur für
Fensterrosetten
in Kathedralen
12eck
16eck
24eck
32eck
Zugehörige Fensterrosetten
Notre-Dame Chartre
Notre-Dame Paris N-Rosette Notre-Dame Paris S-Rosette
Straßburger Münster
Quelle für die Fensterrosetten: Wikipedia
Bilder einer Unterteilung regulärer Vielecke
Gleichseitiges Dreieck:
Quadrat:
Reguläres Fünfeck:
Reguläres Sechseck:
Reguläres Siebeneck:
Reguläres Achteck:
Reguläres Zehneck:
Kongruente Teilflächen in den einzelnen
Vielecken sind mit gleicher Farbe dargestellt.
Vom gleichseitigen Dreieck zum regelmäßigen 15-Eck:
Unregelmäßige konvexe Vielecke Definition eines unregelmäßigen konvexen n-Ecks: Ein n-Eck heißt unregelmäßig konvex, wenn nicht alle Seiten gleich lang sind und die Verbindungsstrecken beliebiger Punkte des n-Ecks im n-Eck enthalten sind.
Allgemein gilt: Die Winkelsumme im n-Eck beträgt 180° * (n-2).
Unregelmäßige konvexe
Sieben- und Achtecke ohne Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen, die sich nicht überdeckenden
Dreiecke sind farbig dargestellt: Spezielle Eigenschaften von unregelmäßigen
konvexen n-Ecken ohne Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen:
Erklärungen zur letzten Zeile siehe regelmäßige Vielecke!
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