Regelmäßige Vielecke (Polygone, n-Ecke) 

 
Definition eines regelmäßigen (regulären) n-Ecks:
Ein n-Eck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang
und alle Innenwinkel gleich groß sind.                               

Regelmäßige n-Ecke von n =  3 bis 8:  

Links mit Bestimmungsdreieck, rechts mit Diagonalen und Symmetrieachsen

Eigenschaften eines regelmäßigen n-Ecks:

1. Jedes regelmäßige n-Eck besitzt einen Umkreis und einen Inkreis.

2. Jedes regelmäßige n-Eck lässt sich in n kongruente Dreiecke zerlegen, die zum gleichschenkligen Bestimmungsdreieck ABM kongruent sind.
   Mittelpunktswinkel  μ  =  360° : n,  Basiswinkel  =  (180°– μ) : 2

3. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt 180°٠(n – 2).

4. Jedes regelmäßige n-Eck besitzt n verschiedene Symmetrieachsen.

5. Ab der Eckenzahl 6 gibt es bei geradzahligen n-Ecken Mehrfachschnittpunkte, bei denen sich mehr als 2 Diagonalen in einem Punkt schneiden.

Spezielle Eigenschaften von regelmäßigen n-Ecken:
 

Anzahl der Ecken	Anzahl der Verbindungs- strecken	Anzahl der Diagonalen	Anzahl der Diagonal- schnittpunkte	Anzahl nicht überdeckender Dreiecke	Anzahl aller Teildreiecke
3	3	0	0	1	1
4	6	2	1	4	8
5	10	5	5	10	35
6	15	9	12	18	110
7	21	14	35	35	287
8	28	20	49	56	632
9	36	27	126	90	1302
...
n

k₁, k₂  sind Korrekturzahlen bei geradem n>5 wegen Mehrfachschnittpunkten.

n = 6:    k₁ = 3;    k₂ = 1

n = 8:    k₁ = 21;    k₂ = 12

Es gilt:  

Erklärung zur 2. Spalte in der Tabelle:

Mit Abzählen und geschickter Summation:  Vom 1. Eckpunkt gehen n-1, vom 2. Eckpunkt n-2 Verbindungslinien und vom letzten Eckpunkt 1 Verbindungslinie aus. Eine geschickte Summierung aller Verbindungslinien (1. + letzter, 2. + vorletzter usw.) liefert  [(n-1)+1] + [(n-2)+2] + ..., das sind (n-1)/2 Summanden n.

Mit Kombinatorik:  Da jeweils 2  von  n  Punkten verbunden werden, gibt es 
Verbindungsstrecken der n Punkte.

Erklärung zur 4. Spalte in der Tabelle:

Falls es keine Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen gibt liefern jeweils die Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Punkten des n-Ecks einen Diagonalschnittpunkt. Nach den Regeln der Kombinatorik gibt es dann insgesamt Diagonalschnittpunkte.

Erklärungen zur 6. Spalte in der Tabelle:

1. Fall:  

Ein Dreieck entsteht im n-Eck durch die Verbindungsstrecken dreier verschiedener Eckpunkte. Es gibt dafür  Möglichkeiten.

2. Fall:  

Durch die Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere Möglichkeiten.

3. Fall:  

Durch die Verbindungsstrecken von fünf verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere Möglichkeiten.

4. Fall:  

Schließlich erhält man durch die Verbindungsstrecken von sechs verschiedenen  Eckpunkten noch zusätzlich  Möglichkeiten.

Typischer Unterschied im Verlauf der Diagonalen bei einem geradzahligen und ungeradzahligen regelmäßigen n-Eck:

Ist die Eckenzahl gerade, so verlaufen die Diagonalen durch den Mittelpunkt.

Bei ungerader Eckenzahl ist die Mitte leer und die Diagonalen bilden innen ein verkleinertes n-Eck.

      Konzentrische 16-Ecke und ein 8-Eck mit Diagonalen

Fensterrosetten in Kathedralen

Reguläre Vielecke als Grundstruktur für Fensterrosetten in Kathedralen

                     12eck                                             16eck                                            24eck                                            32eck 

Zugehörige Fensterrosetten:

        Notre-Dame Chartre                 Notre-Dame Paris N-Rosette         Notre-Dame Paris S-Rosette                 Straßburger Münster

Quelle für die Fensterrosetten: Wikipedia

Bilder einer Unterteilung regulärer Vielecke
(rotationssymmetrische und auch achsensymmetrische Figuren)

Gleichseitiges Dreieck:

Quadrat:

Reguläres Fünfeck:

Reguläres Sechseck:

Reguläres Siebeneck:

Reguläres Achteck:

Reguläres Zehneck:

Kongruente Teilflächen in den einzelnen Vielecken sind mit gleicher Farbe dargestellt.

Vom gleichseitigen Dreieck zum regelmäßigen 15-Eck:

Kränze (ringförmige Anordnung) von regulären Vielecken mit Sternen im Inneren

Reguläre Vielecke mit gerader Eckenzahl 2n, n ∈ {3, 4, 5, 6, …}

Die Anzahl der regulären Vielecke, die einen Kranz bilden entspricht der Eckenzahl.

Begründung der Kranzbildung für n = 8:

Innenwinkel 𝛼 des regulären Achtecks:
𝛼 = (8 – 2)٠180°/8 = 135°

Drehwinkel μ = 360° – 2٠(180° – 𝛼) – (360° - 𝛼) = 45°

8 ٠ 45° = 360°, d.h  8 angrenzende reguläre Achtecke bilden einen Kranz

Allgemein gilt für das reguläre 2n-Eck: n ∈ {3, 4, 5, 6, …}

Innenwinkel 𝛼 des regulären 2n-Ecks:
𝛼 = (2n – 2)٠180°/2n

Drehwinkel μ = (n – 2)٠ 180° – 2٠(180° – 𝛼) – (2n – 6)/2٠(360° – 𝛼)

2n 2n-Ecke bilden einen Kranz.
  

Reguläre Vielecke mit ungerader Eckenzahl 2n-1, n ∈ {3, 4, 5, 6, …}

Die Anzahl der regulären Vielecke, die einen Ring bilden entspricht der doppelten Eckenzahl.

Begründung der Kranzbildung für n = 7:

Innenwinkel 𝛼 des regulären Sechsecks:
𝛼 = (7 – 2)٠180°/7 ≈ 128,57°

Drehwinkel μ = 360°– 2٠(180°– 𝛼) – (360°– 𝛼) ≈ 25,71°

14 ٠ μ = 360°, d.h 10 angrenzende reguläre Siebenecke bilden einen Kranz.

Allgemein gilt für das reguläre (2n–1)-Eck: n ∈ {3, 4, 5, 6, …}

Innenwinkel 𝛼 des regulären (2n–1)-Ecks:
𝛼 = (2n – 3)٠180°/(2n –1)

Drehwinkel μ = (n – 2)٠ 180° – 2٠(180° – 𝛼) – (2n – 6)/2٠(360° – 𝛼)

2٠(2n–1)  (2n–1)-Ecke bilden einen Kranz.
 

Regelmäßige n-Ecke – Berechnungen  

Umkreisradius R:

sin(π/n)  = a/2 /R (Sinus im Dreieck  A₂N₁M)

R = a / (2 sin(π/n))

Inkreisradius r:

cot(π/n) = r / a/2 (Kotangens im Dreieck  A₁N₁M)

r = a/2 cot(π/n)

Flächeninhalt A = n mal Flächeninhalt im Dreieck A₁A₂M

A = n٠a٠r/2 = n a²/4٠cot(π/n)  

Tabelle für n-Ecke von n=3 bis n=10

Unregelmäßige konvexe Vielecke 

Definition eines unregelmäßigen konvexen n-Ecks:

Ein n-Eck heißt unregelmäßig konvex, wenn nicht alle Seiten gleich lang sind und die Verbindungsstrecken beliebiger Punkte des n-Ecks im n-Eck enthalten sind.

Allgemein gilt:

Die Winkelsumme im n-Eck beträgt 180°٠(n – 2).

Unregelmäßige konvexe Sieben- und Achtecke ohne Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen, die sich nicht überdeckenden Dreiecke sind farbig dargestellt:

Spezielle Eigenschaften von unregelmäßigen konvexen n-Ecken ohne Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen:
  

Anzahl n der Ecken	Anzahl der Verbindungs- strecken	Anzahl der Diagonalen	Max. Anzahl der Diagonal- schnittpunkte	Max. Anzahl nicht überdeckender Dreiecke	Maximale Anzahl der Teildreiecke
3	3	0	0	1	1
4	6	2	1	4	8
5	10	5	5	10	35
6	15	9	15	19	111
7	21	14	35	35	287
8	28	20	70	56	644
9	36	27	126	90	1302
...
n

Erklärungen zur letzten Zeile siehe regelmäßige Vielecke!