Regelmäßige Vielecke 

n-eck-def
 
Definition eines regelmäßigen n-Ecks:
Ein n-Eck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

 

 

Regelmäßige n-Ecke von n =  3 bis 8:  

Links mit Bestimmungsdreieck, rechts mit Diagonalen und Symmetrieachsen

 

Eigenschaften eines regelmäßigen n-Ecks:

  1. Jedes regelmäßige n-Eck besitzt einen Umkreis und einen Inkreis.

  2. Jedes regelmäßige n-Eck lässt sich in n kongruente Dreiecke zerlegen, die zum gleichschenkligen Bestimmungsdreieck ABM kongruent sind.
    Mittelpunktswinkel  μ  =  360° : n,  Basiswinkel  =  (180° μ) : 2

  3. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt 180°٠(n2).

  4. Jedes regelmäßige n-Eck besitzt n verschiedene Symmetrieachsen.

  5. Ab der Eckenzahl 6 gibt es bei geradzahligen n-Ecken Mehrfachschnittpunkte, bei denen sich mehr als 2 Diagonalen in einem Punkt schneiden.

Spezielle Eigenschaften von regelmäßigen n-Ecken:
 
Anzahl der Ecken Anzahl der Verbindungs- strecken Anzahl der Diagonalen Anzahl der Diagonal- schnittpunkte Anzahl nicht überdeckender Dreiecke Anzahl aller Teildreiecke
3 3 0 0 1 1
4 6 2 1 4 8
5 10 5 5 10 35
6 15 9 12 18 110
7 21 14 35 35 287
8 28 20 49 56 632
9 36 27 126 90 1302
...          
n          

k1, k2  sind Korrekturzahlen bei geradem n>5 wegen Mehrfachschnittpunkten.

n = 6:    k1 = 3;    k2 = 1

n = 8:    k1 = 21;    k2 = 12

 

Es gilt:  

 

Erklärung zur 2. Spalte in der Tabelle:

Mit Abzählen und geschickter Summation:  Vom 1. Eckpunkt gehen n-1, vom 2. Eckpunkt n-2 Verbindungslinien und vom letzten Eckpunkt 1 Verbindungslinie aus. Eine geschickte Summierung aller Verbindungslinien (1. + letzter, 2. + vorletzter usw.) liefert  [(n-1)+1] + [(n-2)+2] + ..., das sind (n-1)/2 Summanden n.

Mit Kombinatorik:  Da jeweils 2  von  n  Punkten verbunden werden, gibt es 
Verbindungsstrecken der n Punkte.

 

Erklärung zur 4. Spalte in der Tabelle:

Falls es keine Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen gibt liefern jeweils die Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Punkten des n-Ecks einen Diagonalschnittpunkt. Nach den Regeln der Kombinatorik gibt es dann insgesamt Diagonalschnittpunkte.

  

Erklärungen zur 6. Spalte in der Tabelle:

1. Fall:  

Ein Dreieck entsteht im n-Eck durch die Verbindungsstrecken dreier verschiedener Eckpunkte. Es gibt dafür  Möglichkeiten.

  

  

  

  

2. Fall:  

Durch die Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere Möglichkeiten.

  

  

  

  

  

  

3. Fall:  

Durch die Verbindungsstrecken von fünf verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere Möglichkeiten.

  

  

  

  

  

 

4. Fall:  

Schließlich erhält man durch die Verbindungsstrecken von sechs verschiedenen  Eckpunkten noch zusätzlich  Möglichkeiten.

 

 

 

Typischer Unterschied im Verlauf der Diagonalen bei einem geradzahligen und ungeradzahligen regelmäßigen n-Eck:

Ist die Eckenzahl gerade, so verlaufen die Diagonalen durch den Mittelpunkt.

Bei ungerader Eckenzahl ist die Mitte leer und die Diagonalen bilden innen ein verkleinertes n-Eck.

  

 

Konzentrische 16-Ecke und ein 8-Eck mit Diagonalen

                                    16-ecke

   

 

  

  

  

  

   

  

  

  

  

  

   

 

  

 

Fensterrosetten in Kathedralen

Reguläre Vielecke als Grundstruktur für Fensterrosetten in Kathedralen

                     12eck                                             16eck                                            24eck                                            32eck 

12eck  16eck  24eck 32eck

Zugehörige Fensterrosetten:

Rosette-12-Chartre  Rosette-16-NotreDame-N  Rosette-24-NotreDame-S  Rosette-32-Straßburger-Münster

        Notre-Dame Chartre                 Notre-Dame Paris N-Rosette         Notre-Dame Paris S-Rosette                 Straßburger Münster

Quelle für die Fensterrosetten: Wikipedia

  

Bilder einer Unterteilung regulärer Vielecke
(rotationssymmetrische und auch achsensymmetrische Figuren)

Gleichseitiges Dreieck:

3eck-figur-1  3eck-figur-2  3eck-figur-3

Quadrat:

4eck-figur-1  4eck-figur-2  4eck-figur-3

Reguläres Fünfeck:

5eck-figur-1  5eck-figur-2  5eck-figur-3

Reguläres Sechseck:

6eck-figur-1  6eck-figur-2  6eck-figur-3

Reguläres Siebeneck:

7eck-figur-1  7eck-figur-2  7eck-figur-3

Reguläres Achteck:

8eck-figur-1  8eck-figur-2  8eck-figur-3

Reguläres Zehneck:

10eck-figur-1  10eck-figur-2  10eck-figur-3

Kongruente Teilflächen in den einzelnen Vielecken sind mit gleicher Farbe dargestellt.

 

Vom gleichseitigen Dreieck zum regelmäßigen 15-Eck:

                                   3-15-eck   

   

 

Unregelmäßige konvexe Vielecke 

Definition eines unregelmäßigen konvexen n-Ecks:

Ein n-Eck heißt unregelmäßig konvex, wenn nicht alle Seiten gleich lang sind und die Verbindungsstrecken beliebiger Punkte des n-Ecks im n-Eck enthalten sind.

                                                               

Allgemein gilt:

Die Winkelsumme im n-Eck beträgt 180°٠(n2).

Unregelmäßige konvexe Sieben- und Achtecke ohne Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen, die sich nicht überdeckenden Dreiecke sind farbig dargestellt:

  

Spezielle Eigenschaften von unregelmäßigen konvexen n-Ecken ohne Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen:
  
Anzahl n der Ecken Anzahl der Verbindungs- strecken Anzahl der Diagonalen Max. Anzahl der Diagonal- schnittpunkte Max. Anzahl nicht überdeckender Dreiecke Maximale Anzahl der Teildreiecke
3 3 0 0 1 1
4 6 2 1 4 8
5 10 5 5 10 35
6 15 9 15 19 111
7 21 14 35 35 287
8 28 20 70 56 644
9 36 27 126 90 1302
...          
n          

Erklärungen zur letzten Zeile siehe regelmäßige Vielecke!


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