|
Vierecke
Bezeichnungen beim Viereck
Viereck mit den Seiten a, b, c, d,
konvexes Viereck
konkaves Viereck
überschlagenes Viereck
Beim konvexen Viereck liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks.
Im konvexen und konkaven Viereck gilt:
Die Summe der Innenwinkel ist gleich 360°,
α + β + γ + δ = 360°
Im überschlagenen Viereck gilt bei gleicher Winkelorientierung:
α + β + γ + δ = 720°
Vom speziellen zum allgemeinen komplexen Viereck
Das Quadrat
Eigenschaften des Quadrats:
Alle Seiten sind gleich lang und gegenüberliegende Seiten sind parallel.
Die Innenwinkel sind alle gleich 90°. Die Diagonalen sind gleich lang, halbieren sich gegenseitig und schneiden sich im rechten Winkel. Es besitzt 4 Symmetrieachsen und ist 4-fach rotationssymmetrisch um M mit den Drehwinkeln 90°, 180°, 270° und 360°.
Es besitzt einen
Umkreis und einen Inkreis.
Flächeninhalt A = a²
Das Rechteck
Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel. Die Innenwinkel sind alle gleich 90°.
Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich
gegenseitig. Es besitzt einen Umkreis. Es besitzt 2 Symmetrieachsen und ist 2-fach rotationssymmetrisch um M mit den Drehwinkeln 180° und 360°.
Flächeninhalt A = a٠b
Die Raute
Alle Seiten sind gleich lang
Zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Die Diagonalen e und f schneiden sich im rechten Winkel und halbieren sich
gegenseitig. Die Dreiecke ABM, BCM, CMD und AMD sind rechtwinklig und
kongruent. Sie besitzt 2 Symmetrieachsen und ist 2-fach rotationssymmetrisch um M mit den
Drehwinkeln 180° und 360°.
Sie besitzt einen Inkreis.
Flächeninhalt A = ½ e٠f
Zusammenhang zwischen Rechteck und Raute
Die Verbindungsstrecken der Seitenmitten des Rechtecks ABCD liefert die
Raute EFGH.
Das Parallelogramm
Eigenschaften des Parallelogramms: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.
Zwei gegenüberliegende
Winkel sind gleich groß.
Es ist 2-fach rotationssymmetrisch um M mit den Drehwinkeln 180° und 360°.
Flächeninhalt A = a٠h
Das Drachenviereck
Eigenschaften des Drachenvierecks: Die Strecken a und b und die Strecken c und d sind gleich lang (△ABD und △BCD sind gleichschenklig) Die Winkel β und δ sind gleich groß. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
Es besitzt einen Inkreis.
Flächeninhalt A = ½ e٠f
Das gleichschenklige Trapez
Eigenschaften des gleichschenkligen Trapezes: Die Seiten b und d sind gleich lang. Die gegenüberliegenden Seiten a und c sind parallel.
Die Basiswinkel α und β und die
Winkel γ und δ sind gleich groß.
Es
besitzt eine Symmetrieachse und einen Umkreis.
Flächeninalt A = ½ (a+c)٠h
Das
Trapez
Eigenschaften desTrapezes:
Die gegenüberliegenden Seiten a und c sind parallel.
Flächeninalt A = ½ (a+c)٠h
Das Sehnenviereck
Eigenschaften des Sehnenvierecks:
Die Winkelsumme
gegenüberliegender Winkel beträgt 180°,
Mittelpunktswinkel
∡BMD = 2α und
∡DMB = 2γ.
Begründungen:
Kreis- und
Umfangswinkelsatz, mit Umfangswinkel über [BD] und [AC]).
Das Tangentenviereck
Eigenschaften des Tangentenvierecks: a + c = b + d (Begründung: Tangentenviereck)
Die Vierecke
AEMH, BFME, CGMF und DHMG sind Drachenvierecke mit zwei gegenüberliegenden
rechten Winkeln.
Das Sehnen-Tangenenviereck
Eigenschaften des Sehnen-Tangenenviereck
Die Berührungssehnen zweier gegenüberliegender
Berührungspunkten stehen senkrecht aufeinander, HF
⏊ EG. Der Inkreismittelpunkt Mi ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Innenwinkel. Der Umkreismittelpunkt Mu ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des Vierecks.
Das Quadrat ist ein spezielles
Sehnen-Tangenenviereck.
Die Menge der konvexen Vierecke Veranschaulichung der
logischen Beziehungen zwischen den verschiedenen Vierecksarten in einem
Mengendiagramm
Teilmengen:
Quadrate
⊂ Rechtecke
⊂ Parallelogramme
⊂ Trapeze
⊂
konvexe Vierecke
⊂ Vierecke
⊂ bedeutet:
„ist echte Teilmenge von“
Schnittmengen:
Die
Menge der Quadrate
ist die Schnittmenge aus der Menge der Rechtecke und
der Menge der Rauten, i.Z:
Entsprechend gilt:
{Quadrate} = {Drachenvierecke}
∩ {gleichschenklige Trapeze}
Zurück Zurück zur Startseite |
