Die 17 Symmetriegruppen eines ebenen periodischen Musters


Dafür verwendet man auch die Bezeichnungen ebene kristallographische Gruppen, Wandmustergruppen, Tapetengruppen (E: wallpaper groups).

Alle 17 Symmetriegruppen enthalten Verschiebungen, zusätzlich Drehungen, Spiegelungen und/oder Gleitspiegelungen.

Die Symmetriegruppe eines ebenen periodischen Musters besitzt folgende Untergruppen:

a)  Die Translationsgruppe, die von zwei linear unabhängigen Vektoren (grün und blau) erzeugt werden.

b)  Die zyklischen Gruppen der Ordnung 1, 2, 3, 4 oder 6. Sie stellen jeweils Drehungen um 360° , 180° (zweizählige Rotation), 120° (dreizählige Rotation), 90° (vierzählige Rotation) oder 60° (sechszählige Rotation).

c)  Die Diedergruppe der Ordnung 2, 4, 6, 8 oder 12.

  

Jedes periodische Muster kann dadurch erzeugt werden, dass auf eine Elementarzelle obige Operationen immer wieder angewandt werden. Dabei wird die Ebene parkettiert.

Die in den Mustern angegebenen Elemente sind wie folgt gekennzeichnet:

 

 Drehzentrum einer zweizähligen Rotation (180°).

    

 Drehzentrum einer dreizähligen  Rotation (120°).

 Drehzentrum einer vierzähligen  Rotation  (90°).

 Drehzentrum einer sechszähligen Rotation (60°).

 Spiegelachse.

 Gleitspiegelachse.

Unterschiedliche Äquivalenzklassen (Klassen) von Elementen werden durch senkrechte Striche „|“ getrennt.

Die gelb markierten Fläche kennzeichnet eine Elementarzelle.  Die translative Zelle (Parkettstein) bildet den Fundamentalbereich für die Translationsgruppe.

Ab Gruppe p3 (13. Fall) kann die translative Zelle entweder ein regelmäßiges Sechseck oder eine Raute mit einem 60°-Winkel sein.

Folgende 17 Symmetriegruppengruppen eines ebenen periodischen Musters sind möglich:
Links jeweils die grundlegende Struktur, rechts ein Beispielbild.

1)   Gruppe p1
Sie besitzt nur die Translationsgruppe.
Die Elementarzelle ist gleich der translativen Zelle (Parallelogramm).

  
    



    

   

2)   Gruppe p2
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe vier Klassen zweizähliger Rotationen
mit Drehzentren: A, B, C, D  |  M  |   Ma, Mc  |  Mb, Md.
Die Elementarzelle ist halb so groß wie die translative Zelle (Parallelogramm).






  
       
  

  

3)   Gruppe pm
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe zwei Klassen zueinander paralleler Spiegelachsen:  AB, DC |   MdMb.
Die Elementarzelle ist halb so groß wie die translative Zelle (Rechteck).


 

 

 

  

        

4)   Gruppe pg
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe zwei Klassen zueinander paralleler Gleitspiegelachsen:  AB, CD  |   MdMb.
Die Elementarzelle ist ein Viertel so groß wie die translative Zelle (Rechteck).
  

 

   

 


  
      

5)   Gruppe cm
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe abwechselnd eine Klasse paralleler Spiegelachsen und Gleitspiegelachsen.
Die Elementarzelle ist halb so groß wie die translative Zelle (Raute).







   

 

6)   Gruppe pmm
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe vier Klassen zueinander senkrechter Spiegelachsen:  AB, DC  |  AD, BC  |  MdMb |  MaMc.
In deren Schnittpunkten befinden sich vier Klassen zweizähliger Rotationen mit
Drehzentren: A, B, C, D  |  M  |   Ma, Mc  |  Mb, Md.
Die Elementarzelle ist ein Viertel so groß wie die translative Zelle (Rechteck).

 

 




       

    

7)   Gruppe pmg
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe jeweils eine Klasse von Spiegelachsen und zwei Klassen dazu senkrechter Gleitspiegelachsen:  AD, BC  |   MaMc 
Auf den Gleitspiegelachsen befinden sich jeweils zwei Klassen zweizähliger Rotationen mit den Drehzentren: In der Mitte von [AMd], [MdD], [BMb], [MbC]  |  [MaM], [MMc].
Die Elementarzelle ist ein Viertel so groß wie die translative Zelle (Rechteck).

 

 

 


  

     

8)   Gruppe pgg
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe zwei Klassen zueinander senkrechter Gleitspiegelachsen und zwei Klassen von zweizähligen Rotationen mit den Drehzentren:
A, B, C, D, M  |  Ma, Mb, Mc, Md.
Die Elementarzelle ist ein Viertel so groß wie die translative Zelle (Rechteck).


    

 

 

   

  

9)   Gruppe cmm
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe jeweils zwei Klassen von  Spiegelachsen und Gleitspiegelachsen:  AC und Parallelen |  BD und Parallelen.
In deren Schnittpunkten befinden sich jeweils drei Klassen von zweizähligen Rotationen mit den Drehzentren:  A, B, C, D  |  Ma, Mb, Mc, Md  |  M.
Die Elementarzelle ist ein Viertel so groß wie die translative Zelle (Raute).



 

   

 

  

   

10)  Gruppe p4
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe zwei Klassen vierzähliger Rotationen mit den Drehzentren:  A, B, C, D  |  M.
Dazwischen liegt eine Klasse zweizähliger Rotationen mit den Drehzentren:  Ma, Mb, Mc, Md .
Die Elementarzelle ist ein Viertel so groß wie die translative Zelle (Quadrat).



   

 

 


   
  

     

11)  Gruppe p4m (p4mm)
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe zwei Klassen vierzähliger Rotationen mit den Drehzentren:  A, B, C, D  |  M.
 Dazwischen liegt eine Klasse zweizähliger Rotationen mit den Drehzentren:   Ma, Mb, Mc, Md .
Außerdem besitzt sie 3 Klassen von Spiegelachsen:  AB, BC, CD, AD  |  AC, BD  |  MaMc, MbMd
Schließlich gibt es noch eine Klasse von Gleitspiegelachsen.
Die Elementarzelle ist ein Achtel so groß wie die translative Zelle (Quadrat).



   

 

 


  
  

     

12)  Gruppe p4g (p4gm)
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe jeweils eine Klasse zweizähliger und vierzähliger Rotationen. Außerdem besitzt sie jeweils eine Klasse von Spiegelachsen und  Gleitspiegelachsen.
Die Elementarzelle ist ein Achtel so groß wie die translative Zelle (Quadrat).



   

 

 



    

   

13)  Gruppe p3
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe drei Klassen dreizähliger Rotationen mit den Drehzentren:  A, C, G, E  |  B, D, F  |  M.
Die Elementarzelle ist ein Drittel so groß wie die translative Zelle (Regelmäßiges Sechseck oder Raute mit 60°-Winkel).




 

 

 

 

       

  

14)  Gruppe p3m1
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe drei Klassen  dreizähliger Rotationen mit den Drehzentren:  A, C, G, E  |  B, D, F  |  M.
Außerdem gibt es jeweils eine Klasse von Spiegelachsen und Gleitspiegelachsen.
Die Elementarzelle ist ein Sechstel so groß wie die translative Zelle (Regelmäßiges Sechseck oder Raute mit 60°-Winkel).



   

 

 

 

     
   

  

15)  Gruppe p31m
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe zwei Klassen dreizähliger Rotationen mit den Drehzentren: A, C, G, E  |  B, D, F, M.
Außerdem besitzt sie jeweils eine Klasse von  Spiegelachsen und Gleitspiegelachsen.
Die Elementarzelle ist ein Sechstel so groß wie die translative Zelle (Regelmäßiges Sechseck oder Raute mit 60°-Winkel).



   

 

 

 


         

      

16)  Gruppe p6
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe jeweils eine Klasse zweizähliger, dreizähliger und sechszähliger Rotationen.
Die Elementarzelle ist ein Sechstel so groß wie die translative Zelle (Regelmäßiges Sechseck oder Raute mit 60°-Winkel).



 

   

 

 


    

       

17)  Gruppe p6m (p6mm)
Sie besitzt zusätzlich zur Translationsgruppe jeweils eine Klasse zweizähliger, dreizähliger und sechszähliger Rotationen. Außerdem besitzt sie 2 Klassen von Spiegelachsen: AC, CG, EG, AE, CE  |  BE, CF, AD.
Es gibt auch noch 2 Klassen von Gleitspiegelachsen:  PQ, QR, RS, PS, QS, PR  |  Rest
Die Elementarzelle ist ein Zwölftel so groß wie die translative Zelle.



 

 

 

 

 

    

      

    

Die Konstruktionen wurden mit dem Programm Dynageo von R. Mechling durchgeführt:

              http://www.dynageo.de/

Die Beispielbilder wurden mit einem Javaprogramm von Martin von Gagern gefertigt:
              http://home.in.tum.de/~gagern/ornament/ornament.html

Weiteres Javaprogramm zum Erzeugen von Bildern:   
        http://www.geom.uiuc.edu/java/Kali/

    

Die Symmetriegruppen eines ebenen periodischen Musters in der maurischen Ornamentik 

Fotos von M. Holzapfel, aufgenommen im Alcázar (Sevilla) und in der Alhambra (Granada):  

Beispiel für die Gruppe pm:                                       Beispiel für die Gruppe p3:

 

 

 

  
  

  

Beispiel für die Gruppe cmm 
(ohne Berücksichtigung der Farbe): 

 

 

 

 

 

   
 

Beispiele für die Gruppe p4:

 

 

 

 

 

 

   

  

Beispiele für die Gruppe p4m:

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

Aus der Ferne betrachtet: p4m
Aus der Nähe betrachtet:  p4;
die schmalen weißen Bänder überdecken sich und schließen damit die Achsensymmetrie aus.

 


  

  

Beispiel für die Gruppe p6:                  Beispiel für die Gruppe p6m (ohne Farben)

 

 

 

 

  
  

 

 

Aus der Ferne betrachtet: p6m
Aus der Nähe betrachtet:  p6;
die schmalen weißen Bänder überdecken sich und schließen damit die Achsensymmetrie aus.

 

 

 

  

  

Die Symmetriegruppen in den Grafiken von M. C. Escher

Escher studierte 1926 und dann vor allem 1936 die maurische Ornamentik in der Alhambra. 
15 der 17 Symmetriegruppen sind in den Werken von  M. C. Escher zu erkennen. 

Bilder von Escher:                      http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/mce/escher.html

Regelmäßige Flächenaufteilung:   http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/mce/flaechenauf.html

 


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