Regelmäßige Vielecke 

Definition eines regelmäßigen n-Ecks:

Ein n-Eck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.

Regelmäßige n-Ecke von n = 3 bis 8:  

Links mit Bestimmungsdreieck, rechts mit Diagonalen und Symmetrieachsen

Eigenschaften eines regelmäßigen n-Ecks:

1. Jedes regelmäßige n-Eck besitzt einen Umkreis und einen Inkreis.

2. Jedes regelmäßige n-Eck lässt sich in n kongruente Dreiecke zerlegen, die zum gleichschenkligen Bestimmungsdreieck ABM kongruent sind.
   Mittelpunktswinkel  l  =  360° : n 
   Basiswinkel  =  (180° -  l) : 2

3. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt 180° * (n-2).

4. Jedes regelmäßige n-Eck besitzt n verschiedene Symmetrieachsen.

5. Ab der Eckenzahl 6 gibt es bei geradzahligen n-Ecken Mehrfachschnittpunkte, bei denen sich mehr als 2 Diagonalen in einem Punkt schneiden.

Spezielle Eigenschaften von regelmäßigen n-Ecken:
 

Anzahl der Ecken	Anzahl der Verbindungs- strecken	Anzahl der Diagonalen	Anzahl der Diagonal- schnittpunkte	Anzahl nicht überdeckender Dreiecke	Anzahl aller Teildreiecke
3	3	0	0	1	1
4	6	2	1	4	8
5	10	5	5	10	35
6	15	9	12	18	110
7	21	14	35	35	287
8	28	20	49	56	632
9	36	27	126	90	1302
...
n

k₁, k₂  sind Korrekturzahlen bei geradem n>5 wegen Mehrfachschnittpunkten.

n = 6:    k₁ = 3;    k₂ = 1

n = 8:    k₁ = 21;    k₂ = 12

Es gilt:  

Erklärung zur 2. Spalte in der Tabelle:

Mit Abzählen und geschickter Summation:  Vom 1. Eckpunkt gehen n-1, vom 2. Eckpunkt n-2 Verbindungslinien und vom letzten Eckpunkt 1 Verbindungslinie aus. Eine geschickte Summierung aller Verbindungslinien (1. + letzter, 2. + vorletzter usw.) liefert  [(n-1)+1] + [(n-2)+2] + ..., das sind (n-1)/2 Summanden n.

Mit Kombinatorik:  Da jeweils 2  von  n  Punkten verbunden werden, gibt es 
Verbindungsstrecken der n Punkte.

Erklärung zur 4. Spalte in der Tabelle:

Falls es keine Mehrfachschnittpunkte der Diagonalen gibt liefern jeweils die Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Punkten des n-Ecks einen Diagonalschnittpunkt. Nach den Regeln der Kombinatorik gibt es dann insgesamt Diagonalschnittpunkte.

Erklärungen zur 6. Spalte in der Tabelle:

1. Fall:  

Ein Dreieck entsteht im n-Eck durch die Verbindungsstrecken dreier verschiedener Eckpunkte. Es gibt dafür  Möglichkeiten.

2. Fall:  

Durch die Verbindungsstrecken von vier verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere Möglichkeiten.

3. Fall:  

Durch die Verbindungsstrecken von fünf verschiedenen Eckpunkten gibt es weitere Möglichkeiten.

4. Fall:  

Schließlich erhält man durch die Verbindungsstrecken von sechs verschiedenen  Eckpunkten noch zusätzlich  Möglichkeiten.

Typischer Unterschied im Verlauf der Diagonalen bei einem geradzahligen und ungeradzahligen regelmäßigen n-Eck:

Quelle:   The number of triangles formed by intersecting diagonals of a regular polygon