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Das Oktaeder
Es gilt der Polyedersatz von L.
Euler (1707 – 1783): e + f = k + 2
Das Oktaeder besitzt als Oberfläche 8
kongruente gleichseitige Dreiecke, 12 gleich lange Kanten und 6 Eckpunkte.
Berechnung des
Um- und Inkugelradius des Oktaeders:
Für die Länge d
der Diagonale des Quadrats ABCD gilt:
d =
√2 a
Für die Höhe h
gilt nach Pythagoras: h = 1/2 √2 a = 1/2 d
Damit ist der Umkugelradius R = 1/2
√2 a ≈
0,707 a Für den Inkugelradius gilt: r² + (2/3 ha)² = h² r² = 1/2 a² – (2/3⸱ a/2 √3)² ; r² = 1/6 a²
Damit ist der Inkugelradius r = 1/6
√6 a ≈
0,408 a 
NR:
a² = (a/2)² + ha²
In- und Umkugel des Oktaeders 
Berechnung des Oberflächen- und Volumeninhalts des Oktaeders:
Der Oberflächeninhalt eines Dodekaeders ist der 8-fache Flächeninhalt eines
gleichseitigen Dreiecks mit dem Flächeninhalt A.
Für den Volumeninhalt V gilt:
Damit ist der
Volumeninhalt des Oktaeders V = 1/3
√2 a³ ≈
0,471 a³
Berechnung der Winkel im Oktaeder:
Innenwinkel α des gleichseitigen Dreiecks α = 60° (= 180°/3).
Berechnung des Winkels β zwischen benachbarten Flächen des Oktaeders: tan(β/2) = h / a/2 tan(β/2) = √2 β/2 = arctan(√2) = 54,736°
Der Winkel β zwischen benachbarten Flächen eines Oktaeders beträgt β =
109,471°  Berechnung der Winkel γ zwischen den Kanten eines Oktaeders: Die Winkel in den gleichseitigen Dreiecken betragen 60°.
ABCD ist ein
Quadrat.
2h = d =
√2 a (s. oben)
(√2 a)² = a² + a²
- 2a² cos(γ)
(Kosinussatz)
cos(γ)
= 0. Daraus folgt:
γ = 90°
Der Winkel γ zwischen den Kanten des Oktaeders beträgen
γ = 60° oder γ =
90°. |
