Eigenschaften platonischer Körper

Die platonischen Körper

Körper, die von Flächen begrenzt werden, heißen Polyeder (griech.: Vielflach). Die bekanntesten Polyeder sind Quader, Prisma und Pyramide.

Platonische Körper sind  reguläre konvexe Polyeder, das heißt, die begrenzenden Vielecke sind regelmäßig und gleich groß. In jeder Ecke des Körpers treffen jeweils gleich viele und gleich lange Kanten zusammen, an jeder Kante treffen sich zwei deckungsgleiche Flächen.

Es gibt nur fünf - nach dem griechischen Philosophen Platon benannte -  verschiedene platonische Körper:

         Tetraeder                  Hexaeder (Würfel)                Oktaeder                         Dodekaeder                          Ikosaeder

 
Polyedersatz von Euler:   e + f = k + 2    (Leonard Euler 1707-1783)

Dualität platonischer Körper

Wenn man die Mittelpunkte zweier benachbarter Seitenflächen eines platonischen Körpers verbindet, erhält man wieder einen platonischen Körper mit demselben Mittelpunkt. Dieser Körper wird als Dualkörper zum Ausgangskörper bezeichnet. Dabei wird die Anzahl der Flächen mit der Anzahl der Ecken vertauscht, während die Anzahl der Kanten gleich bleibt.

Ikosaeder und goldenes Rechteck

Im Ikosaeder befinden sich 3 zueinander senkrechte goldene Rechtecke mit einem gemeinsamen Mittelpunkt.

Symmetrie platonischer Körper

Folgende Symmetriearten kann es bei einem platonischen Körper geben:

• Rotationssymmetrie bezüglich einer Drehachse mit mindestens zweizähliger Drehachse,

• Symmetrie bezüglich einer Ebene,

• Symmetrie bezüglich eines Punktes.
  

Es gilt:

• Ein Körper ist rotationssymmetrisch mit n-zähliger Drehachse, wenn eine Drehung um 360°/n den Körper auf sich selbst abbildet.

• Eine Ebene E ist Symmetrieebene, wenn der Körper bei Spiegelung an E auf sich selbst abbildet wird.

• Ein Körper ist punktsymmetrisch zu P (symmetrisch bezüglich des Punktes P), wenn der Körper bei Spiegelung an P auf sich selbst abbildet wird.

Symmetrie des Tetraeders:

Das Tetraeder besitzt

3 zweizählige Drehachsen a durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten,

4 dreizählige Drehachsen b durch die Ecken und die Mitten der gegenüberliegenden Seitenflächen,

6 Symmetrieebenen E jeweils durch eine Kante und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante,

keine Punktsymmetrie.
  

  
Damit besitzt das Tetraeder 3*1 + 4*2 + 1 ( Identität ¹⁾) = 12  verschiedene Abbildungen der Drehgruppe. Diese 12 Elemente der Drehgruppe kombiniert mit den 6 Ebenenspiegelungen und 6 Drehspiegelungen ergeben  24 Abbildungen, die die Bedingungen einer Gruppe erfüllen und die sog. Tetraedergruppe bilden.

¹⁾  Identität (identische Abbildung) = Drehung um 360°

Symmetrie des Hexaeders oder Oktaeders:

Das Hexaeder besitzt 6 zweizählige Drehachsen a durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten,
4 dreizählige Drehachsen b durch gegenüberliegende Ecken,
3 vierzählige Drehachsen c durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen,9 Symmetrieebenen E, jeweils drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte,1 Punktsymmetrie zum Mittelpunkt.

Damit besitzt das Hexaeder als Gruppenelemente 6*1 + 4*2 + 3*3 + 1(Identität) = 24  verschiedene Abbildungen der Drehgruppe. Diese 24 Elemente der Drehgruppe kombiniert mit den Ebenenspiegelungen und Drehspiegelungen ergeben  48 Abbildungen, die die sog. Hexaedergruppe bilden.
Wegen der Dualität gilt:

Hexaedergruppe = Oktaedergruppe.

Sie besitzen jeweils 48 Elemente.

Die Tetraedergruppe ist eine Untergruppe der Hexaedergruppe.
 

Symmetrie des Dodekaeders oder Ikosaeders:

Das Dodekaeders besitzt 15 zweizählige Drehachsen a durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten,
10 dreizählige Drehachsen b durch gegenüberliegende Ecken,
6 fünfzählige Drehachsen durch gegenüberliegende Flächenmittelpunkte,15 Symmetrieebenen durch gegenüberliegende, parallele Kanten,1 Punktsymmetrie zum Mittelpunkt.

Damit besitzt das Dodekaeder als Gruppenelemente 15*1 + 10*2 + 6*4  + 1 (Identität) = 60  verschiedene Abbildungen der Drehgruppe. Diese 60 Elemente der Drehgruppe kombiniert mit den Spiegelungen ergeben 2*60 = 120 Abbildungen, die die sog. Dodekaedergruppe bilden.

Wegen der Dualität gilt:

Dodekaedergruppe = Ikosaedergruppe.

Sie besitzen jeweils 120 Elemente.

Parkettierung des Raumes mit platonischen Körpern

Mit Hexaedern (Würfeln) lässt  sich der dreidimensionale Raum vollständig ausfüllen, da die Kanten eines Hexaeders jeweils im rechten Winkel aufeinander stehen.

Bei den anderen vier platonischen Körpern kann jedoch nur eine Kombination von Oktaedern und Tetraedern mit jeweils gleich großen gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen den Raum ausfüllen.

Da  die Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck jeweils 60° betragen, stoßen bei einer Kombination Oktaeder – Tetraeder – Oktaeder jeweils drei 60°-Winkel an einem Eckpunkt zusammen, so dass die entsprechenden Kanten auf einer Geraden liegen.

Insgesamt lässt sich durch eine abwechselnde Folge von Oktaedern und Tetraedern mit gleich großen gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen der dreidimensionale Raum vollständig ausfüllen.

Würfel mit 13 Kugeln

Bei einem Würfel mit der Kantenlänge a berühren 12 gleichgroße Kugeln um die Kantenmittelpunkte mit dem Radius